Considere o conjunto M2 x 2 de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. A matrizes desse conjunto têm a forma:
A=(ll a & b c & d ), onde a, b, c e d in R
Verifique por que M2 x 2 é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar por que o conjunto , que contém todas as matrizes com entradas reais, é um espaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser “somados” entre si e “multiplicados” por números (escalares), seguindo certas regras chamadas axiomas. No nosso caso, os vetores são as matrizes e os escalares são números reais.

Passo 3

Vamos verificar se satisfaz os seguintes axiomas de um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes qualquer em e as somarmos, o resultado também será uma matriz com entradas reais.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em e multiplicarmos ela por um número real, o resultado será novamente uma matriz com entradas reais.

Passo 4

Além desses, temos outros axiomas como a existência de um elemento neutro (a matriz zero), a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Vamos checar alguns deles para garantir que tudo está certo.

Passo 5

Exemplo de fechamento sob adição:
Seja
A = a & b c & d e B = e & f g & h
A soma é:
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
Claramente, também é uma matriz com entradas reais.

Passo 6

Exemplo de fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja A = a & b c & d e
kA = ka & kb kc & kd
A multiplicação por escalar é:
Esse resultado também é uma matriz com entradas reais.

Passo 7

Elemento neutro:
A matriz zero, que é
0 = 0 & 0 0 & 0
satisfaz para qualquer .

Passo 8

Inverso aditivo:
Para qualquer matriz A + (-A) = 0 , existe uma matriz tal que
Isso também está garantido dentro de .

Passo 9

Associatividade e Comutatividade da Adição:
A adição de matrizes é associativa e comutativa, ou seja:
(A + B) + C = A + (B + C)
A + B = B + A
Essas propriedades são herdadas das entradas reais.

Passo 10

Distributividade:
A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de matrizes e sobre a adição de escalares:
k(A + B) = kA + kB
(k + l)A = kA + lA
Essas propriedades também são válidas para matrizes .

Resposta

Portanto, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, comprovando que é de fato um espaço vetorial.

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