Considere o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A matrizes desse conjunto têm a forma:
Verifique por que é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar por que o conjunto , que contém todas as matrizes com entradas reais, é um espaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser “somados” entre si e “multiplicados” por números (escalares), seguindo certas regras chamadas axiomas. No nosso caso, os vetores são as matrizes e os escalares são números reais.
Passo 3
Vamos verificar se satisfaz os seguintes axiomas de um espaço vetorial:
Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes qualquer em e as somarmos, o resultado também será uma matriz com entradas reais.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em e multiplicarmos ela por um número real, o resultado será novamente uma matriz com entradas reais.
Passo 4
Além desses, temos outros axiomas como a existência de um elemento neutro (a matriz zero), a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Vamos checar alguns deles para garantir que tudo está certo.
Passo 5
Exemplo de fechamento sob adição:
Seja
A soma é:
Claramente, também é uma matriz com entradas reais.
Passo 6
Exemplo de fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja e
A multiplicação por escalar é:
Esse resultado também é uma matriz com entradas reais.
Passo 7
Elemento neutro:
A matriz zero, que é
satisfaz para qualquer .
Passo 8
Inverso aditivo:
Para qualquer matriz , existe uma matriz tal que
Isso também está garantido dentro de .
Passo 9
Associatividade e Comutatividade da Adição:
A adição de matrizes é associativa e comutativa, ou seja:
Essas propriedades são herdadas das entradas reais.
Passo 10
Distributividade:
A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de matrizes e sobre a adição de escalares:
Essas propriedades também são válidas para matrizes .
Resposta
Portanto, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, comprovando que é de fato um espaço vetorial.