Considere o conjunto
de todas as matrizes
com entradas reais. A matrizes desse conjunto têm a forma:
Verifique por que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar por que o conjunto
, que contém todas as matrizes
com entradas reais, é um espaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser “somados” entre si e “multiplicados” por números (escalares), seguindo certas regras chamadas axiomas. No nosso caso, os vetores são as matrizes
e os escalares são números reais.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz os seguintes axiomas de um espaço vetorial:
-
Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes qualquer em
e as somarmos, o resultado também será uma matriz com entradas reais. -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em
e multiplicarmos ela por um número real, o resultado será novamente uma matriz com entradas reais.
Passo 4
Além desses, temos outros axiomas como a existência de um elemento neutro (a matriz zero), a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Vamos checar alguns deles para garantir que tudo está certo.
Passo 5
Exemplo de fechamento sob adição:
Seja
A soma é:
Claramente,
também é uma matriz
com entradas reais.
Passo 6
Exemplo de fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja
e
A multiplicação por escalar é:
Esse resultado também é uma matriz
com entradas reais.
Passo 7
Elemento neutro:
A matriz zero, que é
satisfaz
para qualquer
.
Passo 8
Inverso aditivo:
Para qualquer matriz
, existe uma matriz
tal que
Isso também está garantido dentro de
.
Passo 9
Associatividade e Comutatividade da Adição:
A adição de matrizes é associativa e comutativa, ou seja:
Essas propriedades são herdadas das entradas reais.
Passo 10
Distributividade:
A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de matrizes e sobre a adição de escalares:
Essas propriedades também são válidas para matrizes
.
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, comprovando que é de fato um espaço vetorial.