Dadas as equações das elipses: 8.1) x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0 8.2) 17 x^2+12 x y+8 y^2-100=0 determine para cada uma os seguintes itens: as equações dos eixos focal e normal;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações de elipses e precisa encontrar as equações dos eixos focal e normal para cada uma delas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os eixos principais das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação 8.1: . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da elipse, que facilita a identificação dos eixos.

Passo 3

Para isso, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y + 33 = 0 e (x^2 + 2x) + 4(y^2 - 6y) = -33 :
Vamos agrupar os termos:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 e y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 :
Para (x + 1)^2 - 1 + 4[(y - 3)^2 - 9] = -33 :
Para :
Substituindo na equação:

Passo 5

Simplificamos a equação:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 37 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 6

Dividimos todos os termos por 4 para obter a forma padrão da elipse:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1

Passo 7

Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
  • Centro:
  • então (eixo maior ao longo de )
  • então (eixo menor ao longo de )

Passo 8

Os eixos da elipse são os eixos coordenados deslocados para o centro. Então:
  • Eixo focal (maior eixo): horizontal, com direção .
  • Eixo normal (menor eixo): vertical, com direção .
As equações dos eixos são:
  • Eixo focal:
  • Eixo normal:

Passo 9

Agora, vamos para a equação 8.2: . Essa equação tem um termo misto , indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para identificar os eixos principais.

Passo 10

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos a fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = 1217 - 8 = 129 = 43 :
Onde:
Então:

Passo 11

Calculamos 2theta = arctan(43) :
theta = 12 arctan(43)

Passo 12

Após encontrar , aplicamos a rotação nas coordenadas para eliminar o termo . A nova equação será sem termo misto e na forma padrão, permitindo identificar os eixos.

Passo 13

Depois de simplificar, identificamos os novos parâmetros da elipse e determinamos as direções dos eixos focal e normal com base na rotação aplicada.

Resposta

Para a equação 8.1 :
  • Eixo focal:
  • Eixo normal:
Para a equação 8.2 :
  • Eixos focal e normal: Após rotação, os eixos estão inclinados no ângulo .

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