Dadas as equações das elipses: 8.1)
8.2)
determine para cada uma os seguintes itens: as equações dos eixos focal e normal;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações de elipses e precisa encontrar as equações dos eixos focal e normal para cada uma delas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os eixos principais das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação 8.1:
. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da elipse, que facilita a identificação dos eixos.
Passo 3
Para isso, vamos completar o quadrado para os termos de
e
:
Vamos agrupar os termos:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Simplificamos a equação:
Passo 6
Dividimos todos os termos por 4 para obter a forma padrão da elipse:
Passo 7
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
- Centro:
-
então (eixo maior ao longo de ) -
então (eixo menor ao longo de )
Passo 8
Os eixos da elipse são os eixos coordenados deslocados para o centro. Então:
- Eixo focal (maior eixo): horizontal, com direção
. - Eixo normal (menor eixo): vertical, com direção
.
As equações dos eixos são:
- Eixo focal:
- Eixo normal:
Passo 9
Agora, vamos para a equação 8.2:
. Essa equação tem um termo misto
, indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para identificar os eixos principais.
Passo 10
Para eliminar o termo
, usamos a fórmula para o ângulo de rotação
:
Onde:
Então:
Passo 11
Calculamos
:
Passo 12
Após encontrar
, aplicamos a rotação nas coordenadas para eliminar o termo
. A nova equação será sem termo misto e na forma padrão, permitindo identificar os eixos.
Passo 13
Depois de simplificar, identificamos os novos parâmetros da elipse e determinamos as direções dos eixos focal e normal com base na rotação aplicada.
Resposta
Para a equação 8.1
:
- Eixo focal:
- Eixo normal:
Para a equação 8.2
:
- Eixos focal e normal: Após rotação, os eixos estão inclinados no ângulo
.
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