Dadas as funções:
f(x) = sen(ln(x)), g(x) = raiz(5)(ln(x)) e h(x) = log10(x^3 + 1)
Analise as afirmativas seguintes.
I. f'(x) = cos(ln(x)) / x
II. g'(x) = 1 / (5 x raiz(ln x))
III. h'(x) = 3 x^2 / (x^3 + 1)
É correto o que se afirma em:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três funções:
E precisamos verificar se as derivadas apresentadas nas afirmativas I, II e III estão corretas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de .
A função é uma composição de funções. Para derivar, usamos a regra da cadeia:
Então, a afirmativa I está correta.

Passo 3

Agora, vamos para . Podemos reescrever essa função como:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
A afirmativa II apresenta:
Comparando, vemos que a potência de no denominador está incorreta na afirmativa II. Portanto, a afirmativa II está errada.

Passo 4

Por fim, vamos derivar . Sabemos que:
A afirmativa III apresenta:
Faltou o fator no denominador, então a afirmativa III também está errada.

Resposta

Apenas a afirmativa I está correta.

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