Dadas as seguintes equações diferenciais
x y'' + y' - y = 0
determine o que se pede em cada item:
Determine as raízes da equação característica e a relação de recorrência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
O que a gente precisa fazer aqui é descobrir as raízes da equação característica e encontrar a relação de recorrência. Isso tudo faz parte do conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais de coeficientes variáveis. Vamos precisar usar a técnica de resolução para equações de Euler, que é quando os coeficientes são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação dada em uma forma que a gente consiga encontrar a equação característica. Como temos , isso sugere que é uma equação de Euler. A forma geral de uma equação de Euler é:
No nosso caso, para adaptar à forma geral, podemos dividir toda a equação por (assumindo que ):
Mas para facilitar a identificação da equação característica, mantemos a forma original e assumimos uma solução do tipo , onde é um número que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos fatorar dos dois primeiros termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Agora, podemos dividir toda a equação por (novamente, assumindo ):

Passo 5

Aqui percebemos que provavelmente houve um erro na simplificação. Vamos voltar ao Passo 3 e refazer a substituição corretamente.
Substituindo :
Multiplicando com :
Agora, somando os primeiros dois termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Factorizando :
Para que isso seja zero, precisamos que . Mas como a equação original é homogênea, isso nos leva a definir a equação característica :

Passo 6

A equação característica é . Resolvendo para :
Temos uma raiz dupla, ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a relação de recorrência. Considerando a solução geral para a equação de Euler com raízes reais e iguais, temos:
Como , fica:
Isso nos dá a relação de recorrência para a solução da equação diferencial.

Resposta

As raízes da equação característica são e a relação de recorrência para a solução da equação diferencial é .

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