Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Determine as raízes da equação característica e a relação de recorrência.
determine o que se pede em cada item:
Determine as raízes da equação característica e a relação de recorrência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
O que a gente precisa fazer aqui é descobrir as raízes da equação característica e encontrar a relação de recorrência. Isso tudo faz parte do conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais de coeficientes variáveis. Vamos precisar usar a técnica de resolução para equações de Euler, que é quando os coeficientes são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação dada em uma forma que a gente consiga encontrar a equação característica. Como temos
, isso sugere que é uma equação de Euler. A forma geral de uma equação de Euler é:
No nosso caso, para adaptar à forma geral, podemos dividir toda a equação por
(assumindo que
):
Mas para facilitar a identificação da equação característica, mantemos a forma original e assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos fatorar
dos dois primeiros termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Agora, podemos dividir toda a equação por
(novamente, assumindo
):
Passo 5
Aqui percebemos que provavelmente houve um erro na simplificação. Vamos voltar ao Passo 3 e refazer a substituição corretamente.
Substituindo
:
Multiplicando
com
:
Agora, somando os primeiros dois termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Factorizando
:
Para que isso seja zero, precisamos que
. Mas como a equação original é homogênea, isso nos leva a definir a equação característica
:
Passo 6
A equação característica é
. Resolvendo para
:
Temos uma raiz dupla, ou seja,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a relação de recorrência. Considerando a solução geral para a equação de Euler com raízes reais e iguais, temos:
Como
, fica:
Isso nos dá a relação de recorrência para a solução da equação diferencial.
Resposta
As raízes da equação característica são
e a relação de recorrência para a solução da equação diferencial é
.