Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Se a série convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que é um tipo de série bem comum em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série que temos é uma série geométrica. Isso significa que cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, cada termo é
, que pode ser reescrito como
. Isso mostra que a razão
da série é
.
Passo 3
Agora, precisamos saber se essa série geométrica converge ou diverge. Para uma série geométrica
, a regra é:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso, a razão
. Sabemos que
é aproximadamente 0,135, que claramente é menor que 1. Portanto, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma
de uma série geométrica infinita que converge é:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando
é
. Então,
e
.
Resposta
A série
converge e a sua soma é: