Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=0^infty e^-2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série sumn=0^infty e^-2 n converge ou diverge. Se a série convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que é um tipo de série bem comum em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série que temos é uma série geométrica. Isso significa que cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, cada termo é e^-2n, que pode ser reescrito como (e^-2)^n. Isso mostra que a razão r da série é e^-2.

Passo 3

Agora, precisamos saber se essa série geométrica converge ou diverge. Para uma série geométrica sumn=0^infty ar^n, a regra é:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, a razão r = e^-2. Sabemos que e^-2 é aproximadamente 0,135, que claramente é menor que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita que converge é:
S = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando n=0 é e^-2 cdot 0 = e^0 = 1. Então, a = 1 e r = e^-2.

Resposta

A série sumn=0^infty e^-2 n converge e a sua soma é:
S = 11 - e^-2 = 11 - 1e^2 = e^2e^2 - 1

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