As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
em que
é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as equações de Maxwell para uma região sem carga nem corrente elétrica. O conteúdo principal aqui é o eletromagnetismo, especificamente as equações de Maxwell. Para resolver a parte (a), vamos precisar entender como calcular o rotacional do rotacional de um campo elétrico
e relacionar isso com as derivadas temporais usando as equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade vetorial importante:
Essa identidade nos ajuda a simplificar o rotacional do rotacional de
.
Passo 3
Agora, observamos que uma das equações de Maxwell dadas é
. Isso significa que o divergente de
é zero. Substituindo isso na identidade que usamos:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar outra equação de Maxwell:
. Vamos calcular o rotacional de ambos os lados dessa equação:
Usando outra equação de Maxwell,
, substituímos:
Passo 5
Voltando ao que obtivemos anteriormente:
E sabemos que:
Essa relação vem das equações de Maxwell combinadas para derivar as equações de onda para os campos elétricos e magnéticos.
Resposta
Portanto, demonstramos que: