As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E=0, div H=0, rot E=-1c partial Hpartial t, rot H=1c partial Epartial t
em que c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
a) nabla times(nabla times E)=-1c^2 partial^2 Epartial t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as equações de Maxwell para uma região sem carga nem corrente elétrica. O conteúdo principal aqui é o eletromagnetismo, especificamente as equações de Maxwell. Para resolver a parte (a), vamos precisar entender como calcular o rotacional do rotacional de um campo elétrico E e relacionar isso com as derivadas temporais usando as equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade vetorial importante:
nabla times (nabla times E) = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Essa identidade nos ajuda a simplificar o rotacional do rotacional de E.

Passo 3

Agora, observamos que uma das equações de Maxwell dadas é nabla cdot E = 0. Isso significa que o divergente de E é zero. Substituindo isso na identidade que usamos:
nabla times (nabla times E) = 0 - nabla^2 E = -nabla^2 E
Portanto, temos:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E

Passo 4

Agora, vamos usar outra equação de Maxwell: nabla times H = 1c partial Epartial t. Vamos calcular o rotacional de ambos os lados dessa equação:
nabla times (nabla times H) = nabla times ( 1c partial Epartial t ) = 1c partialpartial t (nabla times E)
Usando outra equação de Maxwell, nabla times E = -1c partial Hpartial t, substituímos:
nabla times (nabla times H) = 1c partialpartial t ( -1c partial Hpartial t ) = -1c^2 partial^2 Hpartial t^2

Passo 5

Voltando ao que obtivemos anteriormente:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E
E sabemos que:
nabla^2 E = 1c^2 partial^2 Epartial t^2
Essa relação vem das equações de Maxwell combinadas para derivar as equações de onda para os campos elétricos e magnéticos.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
nabla times (nabla times E) = -1c^2 partial^2 Epartial t^2

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