Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Calcule o Wronskiano .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer é calcular o Wronskiano das soluções dessa equação no ponto . O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes, ou seja, se elas realmente formam uma base de soluções para a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Esse determinante nos dá uma ideia de como as soluções se comportam juntas. Se for diferente de zero, as soluções são independentes.
Passo 3
Agora, para calcular o Wronskiano, a gente pode usar a fórmula de Abel. Essa fórmula é muito útil porque nos dá o Wronskiano diretamente a partir dos coeficientes da equação diferencial.
A fórmula de Abel para uma equação diferencial da forma:
é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de Abel. Primeiro, precisamos calcular a integral de :
Então, a fórmula do Wronskiano fica:
Aqui, é o Wronskiano no ponto , que a gente está tentando encontrar.
Passo 5
Para determinar , precisamos lembrar que o Wronskiano de duas soluções lineares independentes de uma equação diferencial de segunda ordem é constante multiplicado por essa função exponencial. Se assumirmos que as soluções e são tais que no ponto :