Dadas as seguintes equações diferenciais
y'' + x y' + 2 y = 0
determine o que se pede em cada item:
Calcule o Wronskiano W(y1, y2)(0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer é calcular o Wronskiano das soluções dessa equação no ponto . O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes, ou seja, se elas realmente formam uma base de soluções para a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Esse determinante nos dá uma ideia de como as soluções se comportam juntas. Se for diferente de zero, as soluções são independentes.

Passo 3

Agora, para calcular o Wronskiano, a gente pode usar a fórmula de Abel. Essa fórmula é muito útil porque nos dá o Wronskiano diretamente a partir dos coeficientes da equação diferencial.
A fórmula de Abel para uma equação diferencial da forma:
é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de Abel. Primeiro, precisamos calcular a integral de :
Então, a fórmula do Wronskiano fica:
Aqui, é o Wronskiano no ponto , que a gente está tentando encontrar.

Passo 5

Para determinar , precisamos lembrar que o Wronskiano de duas soluções lineares independentes de uma equação diferencial de segunda ordem é constante multiplicado por essa função exponencial. Se assumirmos que as soluções e são tais que no ponto :
Então, o Wronskiano no ponto é:

Resposta

O Wronskiano é igual a 1.

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