Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Procure soluções em séries de potência da equação diferencial dada em torno do ponto
e encontre a relação de recorrência.
determine o que se pede em cada item:
Procure soluções em séries de potência da equação diferencial dada em torno do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a equação diferencial
usando séries de potência em torno de
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Séries de Potência. Para isso, vamos precisar representar a solução
como uma série de potência e substituir na equação para encontrar uma relação que nos ajude a determinar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução
pode ser escrita como uma série de potência centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham
como termo geral. Para o primeiro somatório, fazemos uma mudança de variável
, então:
E para o segundo somatório:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, para
:
Isso nos dá a relação de recorrência.
Passo 7
Expressando a relação de recorrência de forma geral para
:
Para
, os coeficientes iniciais
e
são definidos pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A relação de recorrência para os coeficientes da série de potência é: