Dadas as seguintes equações diferenciais
y'' + x^2 y = 0
determine o que se pede em cada item:
Procure soluções em séries de potência da equação diferencial dada em torno do ponto x0 = 0 e encontre a relação de recorrência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a equação diferencial usando séries de potência em torno de . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Séries de Potência. Para isso, vamos precisar representar a solução como uma série de potência e substituir na equação para encontrar uma relação que nos ajude a determinar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução pode ser escrita como uma série de potência centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham como termo geral. Para o primeiro somatório, fazemos uma mudança de variável , então:
E para o segundo somatório:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, para :
Isso nos dá a relação de recorrência.

Passo 7

Expressando a relação de recorrência de forma geral para :
Para , os coeficientes iniciais e são definidos pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes da série de potência é:

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