Dadas as seguintes funções reais, calcule:
i) seu domínio;
ii) sua imagem;
iii) trace seu gráfico;
iv) Encontre o conjunto de positividade, o conjunto de negatividade e o conjunto de zero da função.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
i) seu domínio;
ii) sua imagem;
iii) trace seu gráfico;
iv) Encontre o conjunto de positividade, o conjunto de negatividade e o conjunto de zero da função.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos várias funções reais (de a a g) e para cada uma delas precisamos:
i) Determinar o domínio da função;
ii) Encontrar a imagem da função;
iii) Traçar o gráfico da função;
iv) Identificar os conjuntos de positividade, negatividade e onde a função é zero.
ii) Encontrar a imagem da função;
iii) Traçar o gráfico da função;
iv) Identificar os conjuntos de positividade, negatividade e onde a função é zero.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções, como entender o domínio e a imagem, além de saber traçar gráficos simples. Vamos resolver cada função uma por uma, seguindo esses passos.
a)
Passo 2
i) Domínio:
O domínio de uma função linear é todo número real, pois não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos.
O domínio de uma função linear é todo número real, pois não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos.
ii) Imagem:
Como é uma função linear com coeficiente não nulo, a imagem também é todo número real.
Como é uma função linear com coeficiente não nulo, a imagem também é todo número real.
iii) Gráfico:
Essa é uma reta. Vamos simplificar a função:
Essa é uma reta. Vamos simplificar a função:
Ela tem coeficiente angular 2 e intercepto em 1.
iv) Conjuntos:
- Positividade:
quando - Negatividade:
quando - Zero:
quando
Passo 3
i) Domínio:
Para qualquer número real , podemos elevar ao cubo. Não há restrições.
Para qualquer número real
ii) Imagem:
A função cúbica cobre todos os reais.
A função cúbica cobre todos os reais.
iii) Gráfico:
O gráfico é uma curva que passa pela origem, aumentando rapidamente para positivo e diminuindo para
negativo.
O gráfico é uma curva que passa pela origem, aumentando rapidamente para
iv) Conjuntos:
- Positividade:
quando - Negatividade:
quando - Zero:
quando
Passo 4
i) Domínio:
Função quadrática, definida para todos os reais.
Função quadrática, definida para todos os reais.
ii) Imagem:
O termo mínimo é 0 (quando
), então:
O termo
iii) Gráfico:
Parábola com concavidade para cima, vértice em .
Parábola com concavidade para cima, vértice em
iv) Conjuntos:
- Positividade:
quando ou - Negatividade:
para - Zero: Quando
Passo 5
i) Domínio:
A função tem uma divisão onde o denominador não pode ser zero.
A função tem uma divisão onde o denominador não pode ser zero.
ii) Imagem:
A função racional pode assumir todos os valores reais, exceto aquele que faz indefinido. Porém, não há restrição específica além do domínio.
A função racional pode assumir todos os valores reais, exceto aquele que faz
iii) Gráfico:
Possui assíntota vertical em e assíntota horizontal em
.
Possui assíntota vertical em
iv) Conjuntos:
- Positividade:
- Se
: - Se
:
- Se
- Negatividade:
- Se
: - Se
: (mas )
- Se
- Zero:
Passo 6
i) Domínio:
A função valor absoluto está definida para todos os números reais.
A função valor absoluto está definida para todos os números reais.
ii) Imagem:
, ent��o
.
iii) Gráfico:
V-shape deslocado 1 para a direita e 5 para cima. Vértice em .
V-shape deslocado 1 para a direita e 5 para cima. Vértice em
iv) Conjuntos:
- Positividade: Sempre positiva, pois
. - Negatividade: Nunca ocorre.
- Zero: Nunca ocorre, pois
Passo 7
i) Domínio:
Definida para todos os reais, já que ambas as expressões estão definidas para seus respectivos intervalos.
Definida para todos os reais, já que ambas as expressões estão definidas para seus respectivos intervalos.
ii) Imagem:
- Para
, pode ser qualquer número maior que . - Para
, .
Portanto, a imagem é
.
iii) Gráfico:
- Para
: reta - Para
: parábola - Ponto de transição em
:
iv) Conjuntos:
- Positividade:
- Para
: sempre verdadeiro. - Para
: quando .
- Para
- Negatividade: Nunca ocorre.
- Zero:
quando .
Passo 8
i) Domínio:
- Para
: exige . - Para
: está definido para todos .
ii) Imagem:
- Para
: cobre - Para
:
iii) Gráfico:
- Para
: Hiperbola com assíntota vertical em - Para
: Reta com ponto de transição em ,
iv) Conjuntos:
- Positividade:
- Para
: quando e . - Para
: quando . Porém, como , sempre positivo.
- Para
- Negatividade:
- Para
: quando - Para
: Sempre positivo.
- Para
- Zero:
- Para
: , mas , então não está no domínio dessa parte. - Para
: nunca ocorre.
- Para
Portanto, a função nunca é zero.
Resposta
g)
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Combinação de hipérbola e reta com transição em
- Conjuntos:
- Positiva:
e ou - Negativa:
- Zero: Não existe
- Positiva: