Dadas as seguintes funções reais, calcule:
i) seu domínio;
ii) sua imagem;
iii) trace seu gráfico;
iv) Encontre o conjunto de positividade, o conjunto de negatividade e o conjunto de zero da função.
a) f(x) = 2(x - 1) + 3
b) f(x) = x^3
c) f(x) = 2(x - 5)² - 1
d) f(x) = 1 - 3/(x + 2)
e) f(x) = |x - 1| + 5
f) f(x) = { 2x + 1 se x > 1, x^2 se x <= 1 }
g) f(x) = { 1/x se x < 2, x - 3/2 se x ≥ 2 }

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos várias funções reais (de a a g) e para cada uma delas precisamos:
i) Determinar o domínio da função;
ii) Encontrar a imagem da função;
iii) Traçar o gráfico da função;
iv) Identificar os conjuntos de positividade, negatividade e onde a função é zero.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções, como entender o domínio e a imagem, além de saber traçar gráficos simples. Vamos resolver cada função uma por uma, seguindo esses passos.

a)

Passo 2

i) Domínio:
O domínio de uma função linear é todo número real, pois não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos.
í
ii) Imagem:
Como é uma função linear com coeficiente não nulo, a imagem também é todo número real.
iii) Gráfico:
Essa é uma reta. Vamos simplificar a função:
Ela tem coeficiente angular 2 e intercepto em 1.
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando
  • Negatividade: quando
  • Zero: quando

Passo 3

i) Domínio:
Para qualquer número real , podemos elevar ao cubo. Não há restrições.
í
ii) Imagem:
A função cúbica cobre todos os reais.
iii) Gráfico:
O gráfico é uma curva que passa pela origem, aumentando rapidamente para positivo e diminuindo para negativo.
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando
  • Negatividade: quando
  • Zero: quando

Passo 4

i) Domínio:
Função quadrática, definida para todos os reais.
í
ii) Imagem:
O termo mínimo é 0 (quando ), então:
iii) Gráfico:
Parábola com concavidade para cima, vértice em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando ou
  • Negatividade: para
  • Zero: Quando

Passo 5

i) Domínio:
A função tem uma divisão onde o denominador não pode ser zero.
í
ii) Imagem:
A função racional pode assumir todos os valores reais, exceto aquele que faz indefinido. Porém, não há restrição específica além do domínio.
iii) Gráfico:
Possui assíntota vertical em e assíntota horizontal em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Se :
    • Se :
  • Negatividade:
    • Se :
    • Se : (mas )
  • Zero:

Passo 6

i) Domínio:
A função valor absoluto está definida para todos os números reais.
í
ii) Imagem:
, ent��o .
iii) Gráfico:
V-shape deslocado 1 para a direita e 5 para cima. Vértice em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade: Sempre positiva, pois .
  • Negatividade: Nunca ocorre.
  • Zero: Nunca ocorre, pois

Passo 7

i) Domínio:
Definida para todos os reais, já que ambas as expressões estão definidas para seus respectivos intervalos.
í
ii) Imagem:
  • Para , pode ser qualquer número maior que .
  • Para , .
Portanto, a imagem é .
iii) Gráfico:
  • Para : reta
  • Para : parábola
  • Ponto de transição em :
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Para : sempre verdadeiro.
    • Para : quando .
  • Negatividade: Nunca ocorre.
  • Zero: quando .

Passo 8

i) Domínio:
  • Para : exige .
  • Para : está definido para todos .
í
ii) Imagem:
  • Para : cobre
  • Para :
iii) Gráfico:
  • Para : Hiperbola com assíntota vertical em
  • Para : Reta com ponto de transição em ,
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Para : quando e .
    • Para : quando . Porém, como , sempre positivo.
  • Negatividade:
    • Para : quando
    • Para : Sempre positivo.
  • Zero:
    • Para : , mas , então não está no domínio dessa parte.
    • Para : nunca ocorre.
Portanto, a função nunca é zero.

Resposta

g)
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Combinação de hipérbola e reta com transição em
  • Conjuntos:
    • Positiva: e ou
    • Negativa:
    • Zero: Não existe

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