Dadas as seguintes funções reais, calcule:
i) seu domínio;
ii) sua imagem;
iii) trace seu gráfico;
iv) Encontre o conjunto de positividade, o conjunto de negatividade e o conjunto de zero da função.
a) f(x) = 2(x - 1) + 3
b) f(x) = x^3
c) f(x) = 2(x - 5)² - 1
d) f(x) = 1 - 3/(x + 2)
e) f(x) = |x - 1| + 5
f) f(x) = { 2x + 1 se x > 1, x^2 se x <= 1 }
g) f(x) = { 1/x se x < 2, x - 3/2 se x ≥ 2 }

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos várias funções reais (de a a g) e para cada uma delas precisamos:
i) Determinar o domínio da função;
ii) Encontrar a imagem da função;
iii) Traçar o gráfico da função;
iv) Identificar os conjuntos de positividade, negatividade e onde a função é zero.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções, como entender o domínio e a imagem, além de saber traçar gráficos simples. Vamos resolver cada função uma por uma, seguindo esses passos.

a)

Passo 2

i) Domínio:
O domínio de uma função linear é todo número real, pois não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos.
í
ii) Imagem:
Como é uma função linear com coeficiente não nulo, a imagem também é todo número real.
iii) Gráfico:
Essa é uma reta. Vamos simplificar a função:
Ela tem coeficiente angular 2 e intercepto em 1.
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando
  • Negatividade: quando
  • Zero: quando

Passo 3

i) Domínio:
Para qualquer número real , podemos elevar ao cubo. Não há restrições.
í
ii) Imagem:
A função cúbica cobre todos os reais.
iii) Gráfico:
O gráfico é uma curva que passa pela origem, aumentando rapidamente para positivo e diminuindo para negativo.
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando
  • Negatividade: quando
  • Zero: quando

Passo 4

i) Domínio:
Função quadrática, definida para todos os reais.
í
ii) Imagem:
O termo mínimo é 0 (quando ), então:
iii) Gráfico:
Parábola com concavidade para cima, vértice em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade: quando ou
  • Negatividade: para
  • Zero: Quando

Passo 5

i) Domínio:
A função tem uma divisão onde o denominador não pode ser zero.
í
ii) Imagem:
A função racional pode assumir todos os valores reais, exceto aquele que faz indefinido. Porém, não há restrição específica além do domínio.
iii) Gráfico:
Possui assíntota vertical em e assíntota horizontal em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Se :
    • Se :
  • Negatividade:
    • Se :
    • Se : (mas )
  • Zero:

Passo 6

i) Domínio:
A função valor absoluto está definida para todos os números reais.
í
ii) Imagem:
, ent��o .
iii) Gráfico:
V-shape deslocado 1 para a direita e 5 para cima. Vértice em .
iv) Conjuntos:
  • Positividade: Sempre positiva, pois .
  • Negatividade: Nunca ocorre.
  • Zero: Nunca ocorre, pois

Passo 7

i) Domínio:
Definida para todos os reais, já que ambas as expressões estão definidas para seus respectivos intervalos.
í
ii) Imagem:
  • Para , pode ser qualquer número maior que .
  • Para , .
Portanto, a imagem é .
iii) Gráfico:
  • Para : reta
  • Para : parábola
  • Ponto de transição em :
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Para : sempre verdadeiro.
    • Para : quando .
  • Negatividade: Nunca ocorre.
  • Zero: quando .

Passo 8

i) Domínio:
  • Para : exige .
  • Para : está definido para todos .
í
ii) Imagem:
  • Para : cobre
  • Para :
iii) Gráfico:
  • Para : Hiperbola com assíntota vertical em
  • Para : Reta com ponto de transição em ,
iv) Conjuntos:
  • Positividade:
    • Para : quando e .
    • Para : quando . Porém, como , sempre positivo.
  • Negatividade:
    • Para : quando
    • Para : Sempre positivo.
  • Zero:
    • Para : , mas , então não está no domínio dessa parte.
    • Para : nunca ocorre.
Portanto, a função nunca é zero.

Resposta

g)
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Combinação de hipérbola e reta com transição em
  • Conjuntos:
    • Positiva: e ou
    • Negativa:
    • Zero: Não existe

Exercícios relacionados

Determinar o domínio natural das seguintes funções com valores reais:
a) f(x) = 2 x + 1
j) f(x) = (x + 3) / ((x^2 + 4)(x + 5)(x^2 + 5))
е) f(x) = { x + 2, x > 4; 1 / ((x - 2)(x - 5)), x <= 4 }
b) f(x) = (x - 3) / raiz(x^2 - 4)
c) f(x) = (x - 1) / (x + 2 + 5 * x + 6)
d) f(x) = { 3x + 2, x ≥ 1; x + 3, x < 1 }
f) f(x) = { raiz(x^2 - 16) se x <= 0; 1 / ((x + 1)(x - 2)) se x < 0 }
<html><head></head><body><div>Decida, em cada caso, se a curva representada a seguir pode ser o gráfico de uma função definida no intervalo <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.431ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1958.7 1000”><title>[a, b]</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“5B” d=“M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(278,0)”><path data-c=“1D44E” d=“M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(807,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1251.7,0)”><path data-c=“1D44F” d=“M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1680.7,0)”><path data-c=“5D” d=“M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
Para cada uma das seguintes funções, determinar conjuntos A, B ⊆ R tal que f: A -> B seja bijetiva. Para estes A, B calcular f^-1 e desenhar f e f^(-1) em um mesmo sistema de eixos coordenados:
а) f(x) = 3x - 7
b) f(x) = 1/(x-1) + 2
<html><head></head><body><div>Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem:<br>
c) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.495ex” height=“2.351ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 6849 1038.9”><title>y = 2 + 2 x - x^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(767.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1823.6,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2545.8,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3546,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(4046,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4840.2,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(5840.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>