Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
12a
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, com a função densidade conjunta
para
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções de densidade de probabilidade de cada uma dessas variáveis individualmente, ou seja, as funções densidade marginais de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e marginal.
Passo 2
Primeiro, para achar a densidade marginal de
, precisamos integrar a função densidade conjunta em relação a
, ou seja:
Isso significa que vamos somar todas as probabilidades possíveis de
para cada valor de
.
Passo 3
Vamos substituir a função densidade conjunta na integral:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 4
A integral de
em relação a
de 0 a infinito é:
Porque
.
Passo 5
A integral de
de 0 a infinito é 1:
Então, temos:
Passo 6
Da mesma forma, para encontrar a densidade marginal de
, integramos a função densidade conjunta em relação a
:
Passo 7
Fazendo a mesma conta:
Resposta
As funções densidade marginais são
e
para
e
.