Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
12a
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, com a função densidade conjunta
para
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções de densidade de probabilidade de cada uma dessas variáveis individualmente, ou seja, as funções densidade marginais de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e marginal.
Passo 2
Primeiro, para achar a densidade marginal de
, precisamos integrar a função densidade conjunta em relação a
, ou seja:
Isso significa que vamos somar todas as probabilidades possíveis de
para cada valor de
.
Passo 3
Vamos substituir a função densidade conjunta na integral:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 4
A integral de
em relação a
de 0 a infinito é:
Porque
.
Passo 5
A integral de
de 0 a infinito é 1:
Então, temos:
Passo 6
Da mesma forma, para encontrar a densidade marginal de
, integramos a função densidade conjunta em relação a
:
Passo 7
Fazendo a mesma conta:
Resposta
As funções densidade marginais são
e
para
e
.
Exercícios relacionados
Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, no ano passado, pelos 40 alunos da Turma A:
4 | 2 | 1 | 0 | 3 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 4 | 3 | 1 | 1 |
2 | 3 | 5 | 8 | 0 | 1 | 6 | 5 | 0 | 3 |
2 | 1 | 6 | 4 | 3 | 4 | 3 | 2 | 3 | 0 |
c) Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros?
Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, no ano passado, pelos 40 alunos da Turma A:
4 | 2 | 1 | 0 | 3 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 4 | 3 | 1 | 1 |
2 | 3 | 5 | 8 | 0 | 1 | 6 | 5 | 0 | 3 |
2 | 1 | 6 | 4 | 3 | 4 | 3 | 2 | 3 | 0 |
d) Calcule média, mediana e moda, dos dados iniciais. Interprete.
Em um estudo sobre vida útil de equipamento eletrônico utilizado em usinas hidrelétricas, verificou-se a partir de amostras de 30 equipamentos da marca
e 25 da marca
, os seguintes resultados:
Marca |
|
Média (h) | Desvio Padrão |
---|---|---|---|
A | 30 | 6000 | 600 |
B | 25 | 5000 | 600 |
Qual equipamento apresentou maior variabilidade nos testes? Justifique.
São dados os tipos de sangue de 40 doadores que se apresentaram durante um mês em um banco de sangue:
,
,
.
a) Obtenha a distribuição de frequencias para estes dados e represente por meio de um gráfico de barras.
a) Obtenha a distribuição de frequencias para estes dados e represente por meio de um gráfico de barras.