Dadas variáveis aleatórias X e Y com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
12a
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, com a função densidade conjunta f(x, y) = e^-(x+y) para x > 0 e y > 0. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções de densidade de probabilidade de cada uma dessas variáveis individualmente, ou seja, as funções densidade marginais de X e Y. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e marginal.

Passo 2

Primeiro, para achar a densidade marginal de X, precisamos integrar a função densidade conjunta em relação a Y, ou seja:
fX(x) = integral0^infty f(x, y) , dy
Isso significa que vamos somar todas as probabilidades possíveis de Y para cada valor de X.

Passo 3

Vamos substituir a função densidade conjunta na integral:
fX(x) = integral0^infty e^-(x+y) , dy
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de e^-(x+y) em relação a y de 0 a infinito é:
fX(x) = e^-x integral0^infty e^-y , dy
Porque e^-(x+y) = e^-x cdot e^-y.

Passo 5

A integral de e^-y de 0 a infinito é 1:
integral0^infty e^-y , dy = 1
Então, temos:
fX(x) = e^-x cdot 1 = e^-x

Passo 6

Da mesma forma, para encontrar a densidade marginal de Y, integramos a função densidade conjunta em relação a X:
fY(y) = integral0^infty f(x, y) , dx = integral0^infty e^-(x+y) , dx

Passo 7

Fazendo a mesma conta:
fY(y) = e^-y integral0^infty e^-x , dx = e^-y cdot 1 = e^-y

Resposta

As funções densidade marginais são fX(x) = e^-x e fY(y) = e^-y para x > 0 e y > 0.

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