Dado o campo vetorial
F=r sin phi ar-1r sin theta cos phi atheta+5 r aphi
Determine F em S(20,120^circ, 300^circ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado em coordenadas esféricas:
F = r sin phi ar - 1r sin theta cos phi atheta + 5r aphi
E o objetivo é determinar esse vetor no ponto S(20, 120^circ, 300^circ). Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como substituir os valores de r, theta e phi nas componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que a gente tem:
  • r = 20
  • theta = 120^circ
  • phi = 300^circ
Agora, vamos calcular cada componente do vetor F separadamente, substituindo esses valores nas fórmulas.

Passo 3

Vamos começar com a componente radial ( ar):
Fr = r sin phi
Substituindo r = 20 e phi = 300^circ:
Fr = 20 times sin(300^circ)
Sabemos que sin(300^circ) = -raiz32, então:
Fr = 20 times (-raiz32) = -10raiz3

Passo 4

Agora, a componente theta ( atheta):
Ftheta = -1r sin theta cos phi
Substituindo r = 20, theta = 120^circ e phi = 300^circ:
Ftheta = -120 times sin(120^circ) times cos(300^circ)
Sabemos que sin(120^circ) = raiz32 e cos(300^circ) = 12, então:
Ftheta = -120 times raiz32 times 12 = -raiz380

Passo 5

Por último, a componente phi ( aphi):
Fphi = 5r
Substituindo r = 20:
Fphi = 5 times 20 = 100

Resposta

Portanto, o vetor F no ponto S(20, 120^circ, 300^circ) é:
F = -10raiz3 ar - raiz380 atheta + 100 aphi

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