Sejam os campos vetoriais uniformes:
& A=-10 arho+20 aphi+6 az & B=12 arho+aphi-3 az
Calcule |A times B|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois campos vetoriais uniformes, A e B, expressos nas direções arho, aphi e az. O objetivo aqui é calcular o módulo do produto vetorial entre esses dois vetores, ou seja, |A times B|. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do produto vetorial e sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores em coordenadas cilíndricas. O produto vetorial A times B resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores A e B. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula determinantemática:
A times B = arho & aphi & az Arho & Aphi & Az Brho & Bphi & Bz
Onde Arho, Aphi, Az são as componentes de A e Brho, Bphi, Bz são as componentes de B.

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos vetores A e B:
A = -10 arho + 20 aphi + 6 az
B = 12 arho + aphi - 3 az
Então, temos:
  • Arho = -10, Aphi = 20, Az = 6
  • Brho = 12, Bphi = 1, Bz = -3

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz determinante para calcular o produto vetorial:
A times B = arho & aphi & az -10 & 20 & 6 12 & 1 & -3
Vamos expandir essa matriz usando a regra de Sarrus para determinantes 3x3.

Passo 5

Calculando cada componente do produto vetorial:
A times B = arho (20 times (-3) - 6 times 1) - aphi (-10 times (-3) - 6 times 12) + az (-10 times 1 - 20 times 12)
Vamos resolver cada parte:
  1. Componente arho:
20 times (-3) = -60
6 times 1 = 6
-60 - 6 = -66 Rightarrow arho times (-66) = -66 arho
  1. Componente aphi:
-10 times (-3) = 30
6 times 12 = 3
30 - 3 = 27 Rightarrow -aphi times 27 = -27 aphi
  1. Componente az:
-10 times 1 = -10
20 times 12 = 10
-10 - 10 = -20 Rightarrow az times (-20) = -20 az

Passo 6

Agora, juntando todas as componentes do produto vetorial:
A times B = -66 arho - 27 aphi - 20 az

Passo 7

Para encontrar o módulo desse vetor, usamos a fórmula da magnitude:
|A times B| = raiz(-66)^2 + (-27)^2 + (-20)^2
Calculando cada quadrado:
(-66)^2 = 4356
(-27)^2 = 729
(-20)^2 = 400
Somando tudo:
4356 + 729 + 400 = 5485
Então,
|A times B| = raiz5485 approx 74 , (aproximadamente)

Resposta

O módulo do produto vetorial |A times B| é aproximadamente 74.

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