Sejam os campos vetoriais uniformes:
& A=-10 arho+20 aphi+6 az & B=12 arho+aphi-3 az
Calcule a componente de A no ponto P(10, pi2, 6) paralela a linha x=2 e z=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a componente do vetor A no ponto P(10, pi2, 6) que é paralela à linha definida por x=2 e e z=6. Aqui, estamos trabalhando com campos vetoriais uniformes e aplicando conceitos de geometria vetorial para encontrar essa componente. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a direção da linha e depois projetar o vetor A nessa direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a direção da linha mencionada. A linha está definida por x=2 e e z=6. Isso significa que, à medida que nos movemos ao longo da linha, o valor de x permanece constante em 2 e e o valor de z permanece constante em 6. Portanto, a única variável que muda ao longo da linha é y. Assim, a direção da linha é ao longo do eixo y.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor direcional da linha. Como a linha vai apenas ao longo de y, o vetor direcional u é simplesmente na direção de y, ou seja:
u = ay
Mas, como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, o vetor unitário na direção de y pode ser expresso em termos de arho e aphi. No ponto P(10, pi2, 6) com phi = pi2, temos:
ay = aphi , já que phi = pi2 á
Portanto, o vetor direcional da linha é:
u = aphi

Passo 4

Agora, queremos encontrar a componente de A na direção de u. Isso é basicamente a projeção de A em u. A fórmula para a projeção de um vetor A em outro vetor u é:
Proju A = A cdot u|u|^2 u
Como u é um vetor unitário ( |u| = 1), a fórmula simplifica para:
Proju A = (A cdot u) u

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar A cdot u. Sabemos que:
A = -10 arho + 20 aphi + 6 az
E u = aphi. Então:
A cdot u = (-10)(0) + (20)(1) + (6)(0) = 20

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Proju A = 20 cdot aphi
Isso significa que a componente de A paralela à linha é 20 aphi.

Resposta

A componente de A no ponto P(10, pi2, 6) paralela à linha x=2 e e z=6 é:
20 aphi

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