Sejam os campos vetoriais uniformes:
Calcule a componente de
no ponto
paralela a linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a componente do vetor
no ponto
que é paralela à linha definida por
e
. Aqui, estamos trabalhando com campos vetoriais uniformes e aplicando conceitos de geometria vetorial para encontrar essa componente. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a direção da linha e depois projetar o vetor
nessa direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a direção da linha mencionada. A linha está definida por
e
. Isso significa que, à medida que nos movemos ao longo da linha, o valor de
permanece constante em
e o valor de
permanece constante em
. Portanto, a única variável que muda ao longo da linha é
. Assim, a direção da linha é ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor direcional da linha. Como a linha vai apenas ao longo de
, o vetor direcional
é simplesmente na direção de
, ou seja:
Mas, como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, o vetor unitário na direção de
pode ser expresso em termos de
e
. No ponto
com
, temos:
Portanto, o vetor direcional da linha é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a componente de
na direção de
. Isso é basicamente a projeção de
em
. A fórmula para a projeção de um vetor
em outro vetor
é:
Como
é um vetor unitário (
), a fórmula simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
. Sabemos que:
E
. Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Isso significa que a componente de
paralela à linha é
.
Resposta
A componente de
no ponto
paralela à linha
e
é: