Dado um grafo G e um vértice de origem, qual é o algoritmo de busca que descobre todos os vértices a uma distância K do vértice origem, antes de descobrir qualquer vértice a uma distância K+1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grafo $ G $ e um vértice de origem. A pergunta é: qual algoritmo de busca consegue encontrar todos os vértices que estão a uma distância exatamente $ K $ desse vértice de origem antes de encontrar qualquer vértice que esteja a uma distância $ K+1 $. A matéria que vamos usar aqui é teoria dos grafos, especificamente os algoritmos de busca em grafos. Vamos precisar entender como funcionam esses algoritmos para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que existem dois algoritmos de busca principais em grafos: Busca em Profundidade (DFS) e Busca em Largura (BFS). A diferença chave entre eles está na forma como eles exploram os vértices.

Passo 3

A Busca em Profundidade (DFS) explora o mais fundo possível ao longo de cada ramo antes de retroceder. Isso significa que ela pode ir muito longe em uma direção antes de explorar outras, o que pode não garantir que todos os vértices a uma distância $ K $ sejam encontrados antes de chegar a $ K+1 $.

Passo 4

Já a Busca em Largura (BFS), como o nome sugere, explora o grafo por camadas. Ela começa no vértice de origem e visita todos os vértices que estão a uma distância de 1, depois todos a distância de 2, e assim por diante. Essa característica é perfeita para o que a questão está pedindo.

Passo 5

Para entender melhor, imagine que a BFS usa uma fila para manter o controle dos vértices a serem explorados. Ela adiciona todos os vizinhos de um vértice antes de passar para os vizinhos dos vizinhos. Assim, todos os vértices a distância $ K $ são explorados antes que qualquer vértice a distância $ K+1 $ seja considerado.

Passo 6

Matematicamente, durante a execução da BFS, podemos pensar em atribuir a cada vértice $ v $ uma distância mínima $ d(v) $ a partir do vértice de origem. A BFS garante que, ao descobrir um vértice, a menor distância $ d(v) $ já tenha sido encontrada.

Passo 7

Portanto, se formos buscar todos os vértices a distância $ K $, a BFS vai primeiro explorar todos os vértices com $ d(v) = K $ antes de explorar qualquer vértice com $ d(v) = K+1 $.

Resposta

O algoritmo de busca que satisfaz essa condição é a Busca em Largura (BFS).

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