Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função T(x, y, z)=x^2-2 y^2+z^2-x y+2 y z. Considerando propriedades constantes e nenhuma geração de calor no interior do corpo, determine as regiões onde a temperatura varia ao longo do tempo.
Resposta: a temperatura não varia no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre como a temperatura está distribuída dentro de um corpo homogêneo e infinito. O enunciado nos dá uma função que descreve essa distribuição: . Nosso objetivo é descobrir em quais regiões essa temperatura muda com o tempo, considerando que as propriedades do material são constantes e não há geração de calor interna.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação do calor, que nos ajuda a entender como a temperatura varia no espaço e no tempo em um material.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do calor para um meio homogêneo e sem geração de calor interno:
partial Tpartial t = alpha nabla^2 T
Aqui, representa a variação da temperatura no tempo, é a difusividade térmica do material, e é o Laplaciano da temperatura, que envolve as segundas derivadas espaciais de .
Nosso objetivo é descobrir onde é diferente de zero, ou seja, onde a temperatura muda com o tempo.

Passo 3

Vamos calcular o Laplaciano de nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 :
partial Tpartial x = 2x - y Rightarrow partial^2 Tpartial x^2 = 2
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
partial Tpartial y = -4y - x + 2z Rightarrow partial^2 Tpartial y^2 = -4
partial Tpartial z = 2z + 2y Rightarrow partial^2 Tpartial z^2 = 2
nabla^2 T = 2 + (-4) + 2 = 0
Agora, somamos essas segundas derivadas:

Passo 4

Com o Laplaciano igual a zero, voltamos à equação do calor:
partial Tpartial t = alpha times 0 = 0
Isso significa que a derivada parcial da temperatura em relação ao tempo é zero.

Resposta

A temperatura não varia no tempo.

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