Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função . Considerando propriedades constantes e nenhuma geração de calor no interior do corpo, determine as regiões onde a temperatura varia ao longo do tempo.
Resposta: a temperatura não varia no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre como a temperatura está distribuída dentro de um corpo homogêneo e infinito. O enunciado nos dá uma função que descreve essa distribuição: . Nosso objetivo é descobrir em quais regiões essa temperatura muda com o tempo, considerando que as propriedades do material são constantes e não há geração de calor interna.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação do calor, que nos ajuda a entender como a temperatura varia no espaço e no tempo em um material.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do calor para um meio homogêneo e sem geração de calor interno:
Aqui, representa a variação da temperatura no tempo, é a difusividade térmica do material, e é o Laplaciano da temperatura, que envolve as segundas derivadas espaciais de .
Nosso objetivo é descobrir onde é diferente de zero, ou seja, onde a temperatura muda com o tempo.

Passo 3

Vamos calcular o Laplaciano de :
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, somamos essas segundas derivadas:

Passo 4

Com o Laplaciano igual a zero, voltamos à equação do calor:
Isso significa que a derivada parcial da temperatura em relação ao tempo é zero.

Resposta

A temperatura não varia no tempo.

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