Um dado é lançado 12 vezes. Qual a probabilidade de que o número 6 apareça exatamente 4 vezes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de, ao lançar um dado 12 vezes, o número 6 sair exatamente 4 vezes. Para isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial, que é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula binomial:
  • n: número de lançamentos, que é 12.
  • k: número de sucessos desejados, que é 4 (sair 6).
  • p: probabilidade de sucesso em cada lançamento. Como um dado tem 6 faces, a probabilidade de sair 6 é .

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Aqui, é o número de combinações de n elementos tomados k a k, que calcula quantas maneiras diferentes podemos obter 4 sucessos em 12 tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. C(n, k):
C(12, 4) = 12!4! times (12 - 4)! = 12 times 11 times 10 times 94 times 3 times 2 times 1 = 495
  1. p^k:
(16)^4 = 11296
  1. (1 - p)^{n - k}:
(56)^8 approx 0,232

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo junto:
P(4) = 495 times 11296 times 0,232 approx 0,088

Resposta

A probabilidade de que o número 6 apareça exatamente 4 vezes em 12 lançamentos de um dado é aproximadamente 8,8%.

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