Um dado é lançado 12 vezes. Qual a probabilidade de que o número 6 apareça exatamente 4 vezes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de, ao lançar um dado 12 vezes, o número 6 sair exatamente 4 vezes. Para isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial, que é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: sucesso ou fracasso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula binomial:
- n: número de lançamentos, que é 12.
- k: número de sucessos desejados, que é 4 (sair 6).
- p: probabilidade de sucesso em cada lançamento. Como um dado tem 6 faces, a probabilidade de sair 6 é
.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Aqui,
é o número de combinações de n elementos tomados k a k, que calcula quantas maneiras diferentes podemos obter 4 sucessos em 12 tentativas.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- C(n, k):
- p^k:
- (1 - p)^{n - k}:
Passo 5
Agora, multiplicamos tudo junto:
Resposta
A probabilidade de que o número 6 apareça exatamente 4 vezes em 12 lançamentos de um dado é aproximadamente 8,8%.