Se
é uma variável aleatória contínua com função de densidade
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber qual é o valor esperado, ou seja,
, de uma variável aleatória contínua
que tem a função de densidade
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à teoria de probabilidades, mais especificamente, a definição de valor esperado para variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado
para uma variável aleatória contínua. Ele é calculado pela integral de
vezes a função de densidade
sobre todo o conjunto de valores possíveis de
. Ou seja:
Passo 3
Substituindo a função de densidade dada na integral, temos:
Passo 4
Vamos analisar a integral
. Note que
é uma função simétrica em relação a
, ou seja, é igual para
e
. Porém, multiplicamos isso por
, que é uma função ímpar (pois
).
Passo 5
Quando multiplicamos uma função par por uma ímpar, o resultado é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de
a
, é sempre zero. Portanto:
Passo 6
Voltando à expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado
é igual a 0.