Se Y é uma variável aleatória contínua com função de densidade f(y)=12 e^-|y|, calcule E(Y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber qual é o valor esperado, ou seja, , de uma variável aleatória contínua que tem a função de densidade . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à teoria de probabilidades, mais especificamente, a definição de valor esperado para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado E(Y) = integral-infty^+infty y cdot f(y) , dy para uma variável aleatória contínua. Ele é calculado pela integral de vezes a função de densidade sobre todo o conjunto de valores possíveis de . Ou seja:

Passo 3

Substituindo a função de densidade dada na integral, temos:
E(Y) = integral-infty^+infty y cdot 12 e^-|y| , dy = 12 integral-infty^+infty y cdot e^-|y| , dy

Passo 4

Vamos analisar a integral . Note que é uma função simétrica em relação a , ou seja, é igual para e . Porém, multiplicamos isso por , que é uma função ímpar (pois ).

Passo 5

Quando multiplicamos uma função par por uma ímpar, o resultado é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de integral-infty^+infty y cdot e^-|y| , dy = 0 a , é sempre zero. Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão do valor esperado:
E(Y) = 12 times 0 = 0

Resposta

O valor esperado é igual a 0.

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