Um dado não viciado, com a forma de um cubo e com as faces numeradas de 1 até 6, foi lançado por 3 vezes. Sabendo-se que a soma dos resultados obtidos foi igual a 5, qual é a probabilidade de o resultado do segundo lançamento do dado ter sido igual a 2?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um dado comum, com seis faces numeradas de 1 a 6, que foi lançado três vezes. Sabemos que a soma dos resultados obtidos nesses três lançamentos foi igual a 5. Queremos descobrir qual é a probabilidade de que o resultado do segundo lançamento tenha sido igual a 2.
Para resolver essa questão, vamos usar conceitos de probabilidade condicional. Precisamos calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos:
  • Evento A: A soma dos três lançamentos é igual a 5.
  • Evento B: O resultado do segundo lançamento é igual a 2.
Queremos encontrar a probabilidade de B dado A, que é representada por P(B|A).

Passo 3

A fórmula para probabilidade condicional é:
P(B|A) = P(A cap B)P(A)
Onde:
  • $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem.
  • $ P(A) $ é a probabilidade de A ocorrer.

Passo 4

Vamos calcular $ P(A) $, a probabilidade de que a soma dos três lançamentos seja igual a 5.
Para isso, precisamos encontrar todas as combinações de números em três lançamentos que somem 5. Como cada lançamento pode resultar em números de 1 a 6, mas a soma é pequena (5), as possibilidades são limitadas.
Vamos listar todas as combinações possíveis:
  1. 1, 1, 3
  2. 1, 3, 1
  3. 3, 1, 1
  4. 1, 2, 2
  5. 2, 1, 2
  6. 2, 2, 1
Total de 6 combinações que somam 5.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de que a soma seja 5 e o segundo lançamento seja 2.
Vamos verificar quais das combinações listadas no Passo 4 têm o segundo número igual a 2:
  1. 1, 1, 3 → Segundo número não é 2.
  2. 1, 3, 1 → Segundo número não é 2.
  3. 3, 1, 1 → Segundo número não é 2.
  4. 1, 2, 2 → Segundo número é 2.
  5. 2, 1, 2 → Segundo número não é 2.
  6. 2, 2, 1 → Segundo número é 2.
Das 6 combinações, 2 têm o segundo lançamento igual a 2.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(B|A) = P(A cap B)P(A)
Sabemos que:
  • Existem 6 combinações que satisfazem A.
  • Destas, 2 também satisfazem B.
Então:
P(B|A) = 26 = 13

Resposta

A probabilidade de o resultado do segundo lançamento ser igual a 2, dado que a soma dos três lançamentos é 5, é de 1/3.

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