Um agricultor estava perdendo a sua plantação em virtude de ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias da seguinte maneira:
Primeiro dia: 1,0 litro,
segundo dia: 1,2 litro,
terceiro dia: 1,4 litro. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, calcule o número de dias de duração desse tratamento nessa plantação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um agricultor que está tentando salvar sua plantação de uma praga, e para isso ele vai pulverizar um produto todos os dias, aumentando a quantidade usada diariamente. No primeiro dia ele usa 1,0 litro, no segundo dia 1,2 litros, no terceiro dia 1,4 litros e assim por diante. O total usado ao final foi de 63 litros. A pergunta é: por quantos dias ele fez esse tratamento?
Aqui, vamos trabalhar com Progressão Aritmética (PA), que é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Vamos precisar usar a fórmula da soma dos termos de uma PA para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa PA:
  • Primeiro termo (a₁): 1,0 litro
  • Razão ®: A diferença entre os termos, que aqui é 0,2 litro (porque a quantidade aumenta 0,2 litro a cada dia)
  • Número de termos (n): É o que queremos descobrir, o número de dias.
  • Soma dos termos (Sₙ): 63 litros

Passo 3

A fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA é:
Sn = n2 times (2a1 + (n - 1) times r)
Vamos substituir os valores que já conhecemos nessa fórmula:
63 = n2 times (2 times 1,0 + (n - 1) times 0,2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo:
Primeiro, multiplique dentro dos parênteses:
2 times 1,0 = 2,0
(n - 1) times 0,2 = 0,2n - 0,2
Então, a equação fica:
63 = n2 times (2,0 + 0,2n - 0,2)
63 = n2 times (0,2n + 1,8)

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
126 = n times (0,2n + 1,8)
Distribuindo o n dentro do parênteses:
126 = 0,2n^2 + 1,8n

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
0,2n^2 + 1,8n - 126 = 0
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 10 para eliminar os decimais:
2n^2 + 18n - 1260 = 0

Passo 7

Agora, podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
n^2 + 9n - 630 = 0
Temos uma equação quadrática na forma:
n^2 + 9n - 630 = 0

Passo 8

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 9 $
  • $ c = -630 $
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $) primeiro:
a = 1

Passo 9

Agora, aplicamos os valores na fórmula de Bhaskara:
n = -9 pm raiz26012 times 1 = -9 pm 512
Isso nos dá duas soluções possíveis:
n = -9 + 512 = 422 = 21
n = -9 - 512 = -602 = -30

Passo 10

Como o número de dias não pode ser negativo, descartamos a solução negativa. Portanto, o número de dias é 21.

Resposta

O tratamento durou 21 dias na plantação.

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