Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=(cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha).
(a) Calcule Tpi2.
(b) Dados alpha, beta in R, mostre que Talpha cdot Tbeta=Talpha+beta.
© Calcule T-alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha definida como:
Esse tipo de matriz representa rotações no plano. Vamos precisar usar trigonometria básica e propriedades de matrizes para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cos (pi2) = 0 e sin (pi2) = 1 . Isso significa que vamos substituir Tpi2 = 0 & -1 1 & 0 por na matriz .
Sabemos que:
Então, substituindo na matriz:

Passo 3

Agora, vamos provar que Talpha cdot Tbeta = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha cos beta & -sin beta sin beta & cos beta . Isso mostra que a composição de duas rotações é igual a uma rotação cuja medida é a soma das duas.
Primeiro, multiplicamos as duas matrizes:
cos alpha cos beta - sin alpha sin beta & -cos alpha sin beta - sin alpha cos beta sin alpha cos beta + cos alpha sin beta & -sin alpha sin beta + cos alpha cos beta
Fazendo a multiplicação:
cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
Agora, usando as fórmulas de adição de cosseno e seno:
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
Talpha cdot Tbeta = cos(alpha + beta) & -sin(alpha + beta) sin(alpha + beta) & cos(alpha + beta) = Talpha + beta
Portanto, a matriz resultante fica:

Passo 4

Por fim, vamos calcular T-alpha = cos(-alpha) & -sin(-alpha) sin(-alpha) & cos(-alpha) . Isso representa uma rotação no sentido oposto.
Substituindo cos(-alpha) = cos alpha e sin(-alpha) = -sin alpha por T-alpha = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha :
Sabemos que:
Então, a matriz fica:

Resposta

(a) 0 & -1 1 & 0
(b) cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
©

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