Dado um número real
, considere a matriz
.
(a) Calcule
.
(b) Dados
, mostre que
.
© Calcule
.
(a) Calcule
(b) Dados
© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
definida como:
Esse tipo de matriz representa rotações no plano. Vamos precisar usar trigonometria básica e propriedades de matrizes para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa que vamos substituir
por
na matriz
.
Sabemos que:
Então, substituindo na matriz:
Passo 3
Agora, vamos provar que
. Isso mostra que a composição de duas rotações é igual a uma rotação cuja medida é a soma das duas.
Primeiro, multiplicamos as duas matrizes:
Fazendo a multiplicação:
Agora, usando as fórmulas de adição de cosseno e seno:
Portanto, a matriz resultante fica:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
. Isso representa uma rotação no sentido oposto.
Substituindo
por
:
Sabemos que:
Então, a matriz fica:
Resposta
(a)
(b)
©