No plano cartesiano considere os vetores V=(3,4) e W=(12,5). Determine um vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por V e W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor que esteja na direção da reta bissetriz do ângulo formado pelos vetores e . Isso envolve um pouco de geometria vetorial e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a bissetriz de um ângulo entre dois vetores no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a bissetriz de um ângulo é uma reta que divide esse ângulo em duas partes iguais. No caso de vetores, queremos encontrar um vetor que esteja nessa direção.

Passo 3

Para encontrar o vetor bissetor, usamos a seguinte fórmula:
Bissetor = V|V| + W|W|
Aqui, e representam as normas (ou magnitudes) dos vetores e , respectivamente. Essa fórmula basicamente normaliza os vetores e depois os soma para encontrar a direção da bissetriz.

Passo 4

Vamos calcular as normas dos vetores |V| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 e |W| = raiz12^2 + 5^2 = raiz144 + 25 = raiz169 = 13 .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos normalizar cada vetor dividindo seus componentes pela respectiva norma.
V|V| = ( 35, 45 )
W|W| = ( 1213, 513 )

Passo 6

Em seguida, somamos esses vetores normalizados:
V|V| + W|W| = ( 35 + 1213, 45 + 513 )
Vamos calcular cada componente:
Para a componente 35 + 1213 = 3965 + 6065 = 9965 :
45 + 513 = 5265 + 2565 = 7765
Para a componente :

Passo 7

Então, o vetor bissetor é:
( 9965, 7765 )
Podemos simplificar para facilitar:
( 9965, 7765 ) = ( 1.523, 1.185 ) (aproximadamente)

Resposta

Um vetor na direção da reta bissetriz do ângulo formado por e é ou, aproximadamente, .

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