Dado o ponto p(3,2), determine a distância de p até a reta r, nos seguintes casos:
A) r:3x + 4y + 1= 0
B) r: x : 2+ y : 3 =1
C) r: y = 6
D) r: x = - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto $ P(3,2) $ e queremos descobrir a distância desse ponto até quatro retas diferentes. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. A gente vai precisar entender um pouquinho dessa fórmula e aplicá-la em cada caso.

Passo 2

Caso A: Reta $ r: 3x + 4y + 1 = 0 $
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distância de um ponto $ (x_0, y_0) $ até uma reta $ ax + by + c = 0 $:
r: 3x + 4y + 1 = 0
Aqui, $ a = 3 $, $ b = 4 $, $ c = 1 $ e $ P(3,2) $. Vamos substituir na fórmula:
(x0, y0)

Passo 3

Caso B: Reta $ r: \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 $
Primeiro, vamos colocar essa equação na forma padrão $ ax + by + c = 0 $. Multiplicando tudo por 6 para eliminar os denominadores:
r: x2 + y3 = 1
Agora, $ a = 3 $, $ b = 2 $, $ c = -6 $. Usando a fórmula da distância:
ax + by + c = 0

Passo 4

Caso C: Reta $ r: y = 6 $
Essa é uma reta horizontal. A distância entre um ponto $ (x_0, y_0) $ e uma reta horizontal $ y = k $ é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas y:
r: y = 6

Passo 5

Caso D: Reta $ r: x = -1 $
Essa é uma reta vertical. A distância entre um ponto $ (x_0, y_0) $ e uma reta vertical $ x = h $ é a diferença absoluta entre as coordenadas x:
r: x = -1

Resposta

As distâncias do ponto $ P(3,2) $ até as retas são:
  • A) $ 3,6 $ unidades
  • B) Aproximadamente $ 1,946 $ unidades
  • C) $ 4 $ unidades
  • D) $ 4 $ unidades

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