Dado o ponto P=(7,4,5) e a reta r:(x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2).
© Determine o ponto P^prime, simétrico de P em relação à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e uma reta definida por . O que o exercício pede é para encontrar o ponto , que é o simétrico de em relação à reta . Isso envolve um pouquinho de Geometria Analítica no espaço. Vamos precisar entender como refletir um ponto em relação a uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico . Isso quer dizer que a reta deve ser o “meio” entre e , ou seja, a reta será a mediadora do segmento que liga a . Para isso, precisamos encontrar a projeção de na reta , que será o ponto mais próximo de na reta . Vamos chamar essa projeção de .

Passo 3

Para encontrar , a projeção de na reta , usamos a fórmula da projeção vetorial. A reta é dada pela posição vetorial . O vetor diretor da reta é . Vamos considerar o vetor que liga um ponto qualquer da reta ao ponto . Escolhemos o ponto na reta para facilitar.

Passo 4

O vetor AP = P - A = (7 - (-7), 4 - 4, 5 - 9) = (14, 0, -4) que vai de Projv AP = ( AP cdot vv cdot v ) v até é dado por:
Agora, usamos a fórmula da projeção de sobre :
Vamos calcular os produtos escalares.

Passo 5

Calculando AP cdot v = (14)(-2) + (0)(1) + (-4)(2) = -28 + 0 - 8 = -36 :
v cdot v = (-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9
E Projv AP = ( -369 ) v = -4 v = -4(-2, 1, 2) = (8, -4, -8) :
Portanto, a projeção é:

Passo 6

Agora que temos a projeção Q = A + Projv AP = (-7, 4, 9) + (8, -4, -8) = (1, 0, 1) , adicionamos isso ao ponto para encontrar o ponto :
Então, a projeção de na reta é .

Passo 7

Agora que encontramos Q = P + P'2 , podemos encontrar P' = 2Q - P = 2(1, 0, 1) - (7, 4, 5) = (2, 0, 2) - (7, 4, 5) = (-5, -4, -3) sabendo que é o ponto médio do segmento . Assim, temos:
Vamos resolver para :

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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