Dado o ponto
e a reta
.
© Determine o ponto
, simétrico de
em relação à reta
.
© Determine o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto
e uma reta
definida por
. O que o exercício pede é para encontrar o ponto
, que é o simétrico de
em relação à reta
. Isso envolve um pouquinho de Geometria Analítica no espaço. Vamos precisar entender como refletir um ponto em relação a uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico
. Isso quer dizer que a reta
deve ser o “meio” entre
e
, ou seja, a reta
será a mediadora do segmento que liga
a
. Para isso, precisamos encontrar a projeção de
na reta
, que será o ponto mais próximo de
na reta
. Vamos chamar essa projeção de
.
Passo 3
Para encontrar
, a projeção de
na reta
, usamos a fórmula da projeção vetorial. A reta
é dada pela posição vetorial
. O vetor diretor da reta é
. Vamos considerar o vetor que liga um ponto qualquer da reta
ao ponto
. Escolhemos o ponto
na reta para facilitar.
Passo 4
O vetor
que vai de
até
é dado por:
Agora, usamos a fórmula da projeção de
sobre
:
Vamos calcular os produtos escalares.
Passo 5
Calculando
:
E
:
Portanto, a projeção é:
Passo 6
Agora que temos a projeção
, adicionamos isso ao ponto
para encontrar o ponto
:
Então, a projeção de
na reta
é
.
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos encontrar
sabendo que
é o ponto médio do segmento
. Assim, temos:
Vamos resolver para
:
Resposta
O ponto simétrico de
em relação à reta
é
.
Exercícios relacionados
Considere as retas paralelas
(b) Dê um exemplo de uma reta que é perpendicular e concorrente às retas
e
;
Considere a matriz identidade
, de ordem 4 . Seja
, calcule
.
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
© Determine o ponto , simétrico de
em relação ao plano
.
© Determine o ponto
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
c)
c)