Dado o problema de valor inicial (PVI)
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial (PVI) da seguinte forma:
O que a gente precisa descobrir é qual é o maior intervalo onde a solução dessa equação certamente existe e é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e teoremas de existência e unicidade.
Passo 2
Primeiro, é importante entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Isso significa que a equação tem a forma geral:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 3
Para garantir que existe uma solução única para esse tipo de equação, usamos o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, se as funções que multiplicam
e
(neste caso,
e
) e a função do lado direito
são contínuas em um intervalo ao redor do ponto inicial (aqui,
), então existe uma solução única nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade das funções envolvidas:
-
é uma constante, então é contínua em todo lugar. -
também é uma constante e, portanto, contínua em todo lugar. -
é uma combinação de funções exponenciais, que são contínuas para todo real .
Passo 5
Como todas as funções
,
e
são contínuas em todo o domínio dos números reais, o Teorema de Existência e Unicidade nos garante que a solução para o nosso problema de valor inicial existe e é única em todo o intervalo onde essas funções são contínuas.
Passo 6
Já que todas as funções são contínuas para qualquer valor de
real, o maior intervalo onde a solução existe e é única é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
O maior intervalo no qual a solução do problema de valor inicial certamente existe e é única é
.