Dado o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 5 y' + 6 y = 12 e^(2 x) + 30 e^(-x), y(0) = 0 e y'(0) = 2
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial (PVI) da seguinte forma:
O que a gente precisa descobrir é qual é o maior intervalo onde a solução dessa equação certamente existe e é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e teoremas de existência e unicidade.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Isso significa que a equação tem a forma geral:
No nosso caso, , , e .

Passo 3

Para garantir que existe uma solução única para esse tipo de equação, usamos o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, se as funções que multiplicam e (neste caso, e ) e a função do lado direito são contínuas em um intervalo ao redor do ponto inicial (aqui, ), então existe uma solução única nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade das funções envolvidas:
  • é uma constante, então é contínua em todo lugar.
  • também é uma constante e, portanto, contínua em todo lugar.
  • é uma combinação de funções exponenciais, que são contínuas para todo real .

Passo 5

Como todas as funções , e são contínuas em todo o domínio dos números reais, o Teorema de Existência e Unicidade nos garante que a solução para o nosso problema de valor inicial existe e é única em todo o intervalo onde essas funções são contínuas.

Passo 6

Já que todas as funções são contínuas para qualquer valor de real, o maior intervalo onde a solução existe e é única é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O maior intervalo no qual a solução do problema de valor inicial certamente existe e é única é .

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