(b) Calcule
para
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular
para a função
. Isso está ligado ao cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como configurar e resolver uma integral dupla, possivelmente usando coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície
sobre uma determinada região no plano
. A fórmula geral é:
Onde
é a região de integração e
é o elemento de área.
Passo 3
Agora, nossa função é
. Perceba que isso é a distância do ponto
até a origem. Para integrar essa função, é mais fácil usar coordenadas polares, onde
e
. Nessas coordenadas,
.
Passo 4
Na mudança para coordenadas polares, o elemento de área
vira
. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Precisamos também definir os limites de integração. Supondo que a região
seja um círculo de raio
centrado na origem, os limites são
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Depois, integramos em relação a
:
Resposta
Então, o valor de
para
é: