(b) Calcule I para f(x, y) = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular para a função . Isso está ligado ao cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como configurar e resolver uma integral dupla, possivelmente usando coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície sobre uma determinada região no plano . A fórmula geral é:
Onde é a região de integração e é o elemento de área.

Passo 3

Agora, nossa função é . Perceba que isso é a distância do ponto até a origem. Para integrar essa função, é mais fácil usar coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, .

Passo 4

Na mudança para coordenadas polares, o elemento de área vira . Então, nossa integral fica:

Passo 5

Precisamos também definir os limites de integração. Supondo que a região seja um círculo de raio centrado na origem, os limites são de 0 a e de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Depois, integramos em relação a :

Resposta

Então, o valor de para é:

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