Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(i) f(x, y) = y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de duas variáveis, , e precisa determinar e esboçar o gráfico dela. Estamos falando de matemática multivariável, especificamente de como visualizar funções que dependem de duas entradas. Para resolver isso, vamos entender o que a função faz e como representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função significa. Aqui, para qualquer valor de e , o resultado da função depende apenas do valor de . Isso significa que, não importa qual seja , o valor de será sempre o quadrado de .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como representar isso graficamente. Como temos duas variáveis de entrada ( e ) e uma saída ( ), o gráfico será uma superfície no espaço tridimensional. Para cada ponto , plote o valor correspondente de .

Passo 4

Vamos analisar alguns pontos para visualizar melhor:
  • Se , então para qualquer .
  • Se ou , então para qualquer .
  • Se ou , então para qualquer .
    Isso mostra que o valor de depende apenas de e é sempre não negativo.

Passo 5

Entendendo isso, percebemos que o gráfico será uma superfície chamada “cilindro parabólico”. Isso porque para cada valor de , temos uma parábola . Como essa parábola se repete ao longo do eixo , formamos um cilindro com a forma da parábola.

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo , e em 3D.
  2. Desenhe a parábola no plano - .
  3. Estenda essa parábola ao longo do eixo , formando um cilindro que se abre na direção positiva do eixo .

Resposta

O gráfico da função é um cilindro parabólico que se abre na direção positiva do eixo . Para qualquer valor de , a seção transversal é uma parábola .

Exercícios relacionados