Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de duas variáveis,
, e precisa determinar e esboçar o gráfico dela. Estamos falando de matemática multivariável, especificamente de como visualizar funções que dependem de duas entradas. Para resolver isso, vamos entender o que a função faz e como representá-la graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
significa. Aqui, para qualquer valor de
e
, o resultado da função depende apenas do valor de
. Isso significa que, não importa qual seja
, o valor de
será sempre o quadrado de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como representar isso graficamente. Como temos duas variáveis de entrada (
e
) e uma saída (
), o gráfico será uma superfície no espaço tridimensional. Para cada ponto
, plote o valor correspondente de
.
Passo 4
Vamos analisar alguns pontos para visualizar melhor:
- Se
, então para qualquer . - Se
ou , então para qualquer . - Se
ou , então para qualquer .
Isso mostra que o valor dedepende apenas de e é sempre não negativo.
Passo 5
Entendendo isso, percebemos que o gráfico será uma superfície chamada “cilindro parabólico”. Isso porque para cada valor de
, temos uma parábola
. Como essa parábola se repete ao longo do eixo
, formamos um cilindro com a forma da parábola.
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe o eixo
, e em 3D. - Desenhe a parábola
no plano - . - Estenda essa parábola ao longo do eixo
, formando um cilindro que se abre na direção positiva do eixo .
Resposta
O gráfico da função
é um cilindro parabólico que se abre na direção positiva do eixo
. Para qualquer valor de
, a seção transversal é uma parábola
.