Dado o sistema
x+y-w & =0 x-z+w & =2 y+z-w & =-3 x+y-2 w & =1
Calcule o posto da matriz dos coeficientes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me mandou. A pergunta é sobre calcular o posto da matriz dos coeficientes desse sistema. Isso significa que vamos precisar trabalhar com matrizes e entender um pouco sobre linhas e colunas para descobrir o posto. Vamos usar algumas operações básicas de matrizes para simplificar e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Olha só:
1 & 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 & -2
Cada linha representa uma equação e cada coluna representa os coeficientes das variáveis , , e .

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa matriz usando operações de linha para deixá-la em uma forma mais fácil de analisar, chamada de forma escalonada. Isso envolve trocar linhas, multiplicar linhas por números e somar linhas entre si. Vamos começar:
Primeiro, vamos usar a primeira linha como base e eliminar os 1s abaixo dela na primeira coluna.
Subtraia a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 Rightarrow [1-1, 0-1, -1-(-1), 1-0] = [0, -1, 0, 1]
Subtraia a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1 Rightarrow [1-1, 1-1, 0-(-1), -2-0] = [0, 0, 1, -2]
A matriz fica assim:
1 & 1 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & -2

Passo 4

Continuando, vamos simplificar mais. Vamos trabalhar com a segunda linha para eliminar o 1 na terceira linha:
Multiplique a segunda linha por -1:
Linha 2 = -1 times Linha 2 Rightarrow [0, 1, 0, -1]
Agora, some a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 Rightarrow [0+0, 1+1, 1+0, -1+(-1)] = [0, 2, 1, -2]
A matriz fica assim:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & -2
Agora, vamos eliminar o 2 na terceira linha usando a segunda linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 2 Rightarrow [0-0, 2-2, 1-0, -2-(-2)] = [0, 0, 1, 0]
A matriz simplificada fica:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -2
Agora, vamos eliminar o 1 na quarta linha usando a terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 3 Rightarrow [0-0, 0-0, 1-1, -2-0] = [0, 0, 0, -2]
A matriz final em forma escalonada é:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2

Resposta

O posto da matriz dos coeficientes é 4.

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