Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que:
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, e o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente Cr$ 1,00?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve álgebra linear e otimização de custos usando sistemas de equações. Precisamos descobrir se é possível combinar os alimentos I, II e III de forma que atendam às necessidades de vitaminas A, B e C com um custo total de exatamente Cr$ 1,00. Vamos usar equações para representar as quantidades de cada vitamina e os custos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • 1x + 2y + 3z = 11 : quantidade em gramas do alimento I
  • 3x + 3y + 0z = 9 : quantidade em gramas do alimento II
  • 4x + 5y + 3z = 20 : quantidade em gramas do alimento III
Agora, vamos montar as equações com base nas informações fornecidas:
Para a vitamina A:
0,60x + 0,10y + 0,10z = 1,00
Para a vitamina B:
Para a vitamina C:
E para o custo total:

Passo 3

Vamos simplificar a equação da vitamina B primeiro, já que ela não envolve 3x + 3y = 9 :
x + y = 3
Podemos dividir toda a equação por 3:
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir x + 2(3 - x) + 3z = 11 nas equações das vitaminas A e C:
Para a vitamina A:
x + 6 - 2x + 3z = 11
-x + 3z = 5
x = 3z - 5
4x + 5(3 - x) + 3z = 20
Para a vitamina C:
4x + 15 - 5x + 3z = 20
-x + 3z = 5
Isso confirma a mesma relação que encontramos para a vitamina A.

Passo 5

Agora, vamos usar a expressão de 0,60x + 0,10y + 0,10z = 1,00 na equação do custo:
0,60x + 0,10(3 - x) + 0,10z = 1,00
Substituindo 0,60x + 0,30 - 0,10x + 0,10z = 1,00 :
0,50x + 0,10z = 0,70
5x + z = 7
Multiplicando tudo por 10 para facilitar:

Passo 6

Lembrando que 5(3z - 5) + z = 7 , substituímos na última equação:
15z - 25 + z = 7
16z = 32
z = 2

Passo 7

Agora, encontramos x = 3(2) - 5 . Vamos encontrar x = 6 - 5 :
x = 1
y = 3 - 1
y = 2
E :

Resposta

Sim, é possível comprar 1 grama do alimento I, 2 gramas do alimento II e 2 gramas do alimento III, totalizando exatamente Cr$ 1,00 e atendendo às necessidades de vitaminas A, B e C.

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