Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que:
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, e o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente Cr$ 1,00?
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, e o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente Cr$ 1,00?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve álgebra linear e otimização de custos usando sistemas de equações. Precisamos descobrir se é possível combinar os alimentos I, II e III de forma que atendam às necessidades de vitaminas A, B e C com um custo total de exatamente Cr$ 1,00. Vamos usar equações para representar as quantidades de cada vitamina e os custos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: quantidade em gramas do alimento I -
: quantidade em gramas do alimento II -
: quantidade em gramas do alimento III
Agora, vamos montar as equações com base nas informações fornecidas:
Para a vitamina A:
Para a vitamina B:
Para a vitamina C:
E para o custo total:
Passo 3
Vamos simplificar a equação da vitamina B primeiro, já que ela não envolve
:
Podemos dividir toda a equação por 3:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir
nas equações das vitaminas A e C:
Para a vitamina A:
Para a vitamina C:
Isso confirma a mesma relação que encontramos para a vitamina A.
Passo 5
Agora, vamos usar a expressão de
na equação do custo:
Substituindo
:
Multiplicando tudo por 10 para facilitar:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos na última equação:
Passo 7
Agora, encontramos
. Vamos encontrar
:
E
:
Resposta
Sim, é possível comprar 1 grama do alimento I, 2 gramas do alimento II e 2 gramas do alimento III, totalizando exatamente Cr$ 1,00 e atendendo às necessidades de vitaminas A, B e C.