Encontre todas as soluções do sistema
x1+3 x1+2 x3+3 x4-7 x3=14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x3=-2 x1+3 x2-x3+2 x3=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todas as soluções de um sistema de equações. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares, que é parte da álgebra. Para resolver, vamos precisar simplificar as equações e usar métodos como substituição ou eliminação para achar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada equação para facilitar a visualização. Olha só:
  1. Primeira equação:
    x1 + 3x1 + 2x3 + 3x4 - 7x3 = 14
    Vamos juntar os termos iguais:
    (1 + 3)x1 + (2 - 7)x3 + 3x4 = 14 4x1 - 5x3 + 3x4 = 14
  2. Segunda equação:
    2x1 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x3 = -2
    Juntando os termos:
    2x1 + 6x2 + (1 + 5)x3 - 2x4 = -2 2x1 + 6x2 + 6x3 - 2x4 = -2
  3. Terceira equação:
    x1 + 3x2 - x3 + 2x3 = -1
    Simplificando:
    x1 + 3x2 + (-1 + 2)x3 = -1 x1 + 3x2 + x3 = -1
Agora nosso sistema fica assim:
4x1 - 5x3 + 3x4 = 14 (1) 2x1 + 6x2 + 6x3 - 2x4 = -2 (2) x1 + 3x2 + x3 = -1 (3)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Como temos 4 incógnitas (x₁, x₂, x₃, x₄) e apenas 3 equações, vamos precisar expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher uma variável para ser nossa variável livre. Vamos optar por x₄ como variável livre.

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a equação (1) para x₁:
4x1 - 5x3 + 3x4 = 14
Isolando x₁:
4x1 = 14 + 5x3 - 3x4 x1 = 14 + 5x3 - 3x44

Passo 5

Agora, vamos usar a equação (3) para expressar x₂ em termos de x_{1} e x_{3}:
x1 + 3x2 + x3 = -1
Isolando x₂:
3x2 = -1 - x1 - x3 x2 = -1 - x1 - x33
Substituindo o valor de x₁ que encontramos:
x2 = -1 - (14 + 5x3 - 3x44) - x33
Vamos simplificar isso:
x2 = -1 times 4 - (14 + 5x3 - 3x4) - 4x312 x2 = -4 -14 -5x3 +3x4 -4x312 x2 = -18 -9x3 +3x412 x2 = -1812 + -9x312 + 3x412 x2 = -32 - 3x34 + x44

Passo 6

Agora, vamos substituir x₁ e x₂ nas equações restantes para encontrar uma relação envolvendo x₃ e x₄. Vamos usar a equação (2):
2x1 + 6x2 + 6x3 - 2x4 = -2
Substituindo x₁ e x₂:
2(14 + 5x3 - 3x44) + 6(-32 - 3x34 + x44) + 6x3 - 2x4 = -2
Vamos simplificar cada termo:
2 times (14 + 5x3 - 3x4)4 = 28 + 10x3 - 6x44 = 7 + 2.5x3 - 1.5x4
6 times (-32 - 3x34 + x44) = -9 - 18x34 + 6x44 = -9 -4.5x3 + 1.5x4
Agora, somamos tudo:
7 + 2.5x3 - 1.5x4 -9 -4.5x3 +1.5x4 +6x3 -2x4 = -2
Simplificando:
(2.5x3 -4.5x3 +6x3) + (-1.5x4 +1.5x4 -2x4) + (7 -9) = -2 (4x3) + (-2x4) -2 = -2
Isso nos dá:
4x3 -2x4 -2 = -2
Adicionando 2 em ambos os lados:
4x3 -2x4 = 0
Dividindo por 2:
2x3 -x4 = 0 x4 = 2x3

Passo 7

Agora que temos uma relação entre x₃ e x₄: x1 = 14 + 5x3 - 3x44 = 14 + 5x3 - 3(2x3)4 = 14 +5x3 -6x34 = 14 -x34 , podemos expressar todas as variáveis em termos de x₃.
Vamos substituir x₄ por x2 = -32 - 3x34 + x44 = -32 - 3x34 + 2x34 = -32 - x34 nas expressões de x₁ e x₂ que encontramos:
  1. x₁:
    x4 = 2x3
  2. x₂:
  3. x₄:

Passo 8

Então, nossa solução geral para o sistema é:
x1 = 14 - x34 x2 = -32 - x34 x3 = x3 (variável livre) x4 = 2x3 á
Podemos também expressar isso parametrizando com um parâmetro x1 = 14 - t4 x2 = -32 - t4 x3 = t x4 = 2t :

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
x1 = dfrac14 - t4 x2 = -dfrac32 - dfract4 x3 = t x4 = 2t
onde é um número real qualquer.

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