Dado o triângulo de vértices A(0,-1), B(-5,-5) e C(-3,1), determine:
a) o comprimento das medianas
b) as coordenadas do baricentro
a) o comprimento das medianas
b) as coordenadas do baricentro
Passo 1
Então, a gente tem um triângulo com os vértices A(0, -1), B(-5, -5) e C(-3, 1). A questão quer que a gente descubra duas coisas:
a) O comprimento das medianas desse triângulo.
b) As coordenadas do baricentro, que é tipo o “centro de massa” do triângulo.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de distâncias e pontos médios, para resolver isso.
a) O comprimento das medianas desse triângulo.
b) As coordenadas do baricentro, que é tipo o “centro de massa” do triângulo.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de distâncias e pontos médios, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana num triângulo. Uma mediana é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Então, para cada vértice, temos uma mediana correspondente.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos médios dos lados do triângulo. Por exemplo, para encontrar o ponto médio do lado BC, usamos a fórmula do ponto médio:
Aplicando os valores:
Fazemos o mesmo para os outros lados.
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Vamos começar com a mediana que vai do vértice A até o ponto médio de BC, que já encontramos ser (-4, -2).
Então:
Passo 5
Fazemos o mesmo para as outras medianas. Primeiro, encontramos os pontos médios dos lados AB e AC.
Para o lado AB:
Para o lado AC:
Passo 6
Agora, calculamos as distâncias das medianas:
Para a mediana do vértice B até M_AC:
Para a mediana do vértice C até M_AB:
Passo 7
Agora que temos os comprimentos das três medianas, vamos para a segunda parte da questão: encontrar as coordenadas do baricentro. O baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram e pode ser calculado como a média das coordenadas dos três vértices.
Passo 8
Usamos a fórmula do baricentro:
Substituindo os valores:
Então, as coordenadas do baricentro são
.
Resposta
a) Os comprimentos das medianas são aproximadamente 4,12 unidades, 6,10 unidades e 4,03 unidades.
b) As coordenadas do baricentro são .
b) As coordenadas do baricentro são