Dado o triângulo de vértices A(0,-1), B(-5,-5) e C(-3,1), determine:
a) o comprimento das medianas
b) as coordenadas do baricentro

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo com os vértices A(0, -1), B(-5, -5) e C(-3, 1). A questão quer que a gente descubra duas coisas:
a) O comprimento das medianas desse triângulo.
b) As coordenadas do baricentro, que é tipo o “centro de massa” do triângulo.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de distâncias e pontos médios, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana num triângulo. Uma mediana é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Então, para cada vértice, temos uma mediana correspondente.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos médios dos lados do triângulo. Por exemplo, para encontrar o ponto médio do lado BC, usamos a fórmula do ponto médio:
M = ( xB + xC2, yB + yC2 )
Aplicando os valores:
M = ( -5 + (-3)2, -5 + 12 ) = ( -82, -42 ) = (-4, -2)
Fazemos o mesmo para os outros lados.

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos começar com a mediana que vai do vértice A até o ponto médio de BC, que já encontramos ser (-4, -2).
Então:
dAM = raiz(-4 - 0)^2 + (-2 - (-1))^2 = raiz(-4)^2 + (-1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17 approx 4,12

Passo 5

Fazemos o mesmo para as outras medianas. Primeiro, encontramos os pontos médios dos lados AB e AC.
Para o lado AB:
MAB = ( 0 + (-5)2, -1 + (-5)2 ) = ( -52, -62 ) = ( -2,5, -3 )
Para o lado AC:
MAC = ( 0 + (-3)2, -1 + 12 ) = ( -32, 02 ) = ( -1,5, 0 )

Passo 6

Agora, calculamos as distâncias das medianas:
Para a mediana do vértice B até M_AC:
dBMAC = raiz(-1,5 - (-5))^2 + (0 - (-5))^2 = raiz(3,5)^2 + (5)^2 = raiz12,25 + 25 = raiz37,25 approx 6,10
Para a mediana do vértice C até M_AB:
dCMAB = raiz(-2,5 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2 = raiz(0,5)^2 + (-4)^2 = raiz0,25 + 16 = raiz16,25 approx 4,03

Passo 7

Agora que temos os comprimentos das três medianas, vamos para a segunda parte da questão: encontrar as coordenadas do baricentro. O baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram e pode ser calculado como a média das coordenadas dos três vértices.

Passo 8

Usamos a fórmula do baricentro:
G = ( xA + xB + xC3, yA + yB + yC3 )
Substituindo os valores:
G = ( 0 + (-5) + (-3)3, -1 + (-5) + 13 ) = ( -83, -53 )
Então, as coordenadas do baricentro são ( -83, -53 ).

Resposta

a) Os comprimentos das medianas são aproximadamente 4,12 unidades, 6,10 unidades e 4,03 unidades.
b) As coordenadas do baricentro são ( -83, -53 ).

Exercícios relacionados