Vetores e suas operações são fundamentais para a descrição matemática dos fenômenos físicos e suas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento desde a engenharia até a computação gráfica. Uma delas diz respeito ao cálculo de volumes para os quais pode ser utilizado o produto escalar triplo, u • (v X w). Considere então um paralelepípedo de vidro no qual um vértice encontra-se na origem. Os três vértices adjacentes estão em (3,0,0), (0,0,2) e (0, 3,1) todos medidos em centímetros. Calcule o volume deste paralelepípedo utilizando o produto escalar triplo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o volume de um paralelepípedo usando o produto escalar triplo, que é $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $. O enunciado nos dá três vértices adjacentes ao vértice na origem, com coordenadas
,
e
em centímetros. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossos vetores. Como o vértice está na origem, os três vetores que formam o paralelepípedo são:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $. O produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $:
Passo 4
Agora que temos $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} = (-6, 0, 0) $, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $. O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é:
Aplicando isso:
Passo 5
O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo:
Resposta
O volume do paralelepípedo é de 18 centímetros cúbicos.