Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de Newton. Utilize a função f(x)=x³-5.
A. 2
B. 1,75
C. 1,73
D. 1,72
E. 1,71
A. 2
B. 1,75
C. 1,73
D. 1,72
E. 1,71
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a raiz cúbica de 5 usando o método de Newton. Isso significa que vamos aproximar o valor que, quando elevado ao cubo, dá 5. A função que a gente vai usar é $ f(x) = x^3 - 5 $. Para isso, vamos precisar entender como o método de Newton funciona e aplicar passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um palpite inicial para começar. O método de Newton funciona melhor quando temos uma aproximação inicial que não tá muito longe da resposta verdadeira. Vamos tentar começar com $ x_0 = 2 $, porque sabemos que $ 2^3 = 8 $, que é maior que 5, então a raiz cúbica de 5 deve ser menor que 2.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton para encontrar a próxima aproximação. A fórmula é:
Onde:
- $ f(x) = x^3 - 5 $
- $ f’(x) = 3x^2 $
Vamos calcular $ f(2) $ e $ f’(2) $:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 4
Vamos fazer mais uma iteração para melhorar a precisão. Agora, usamos $ x_1 = 1,75 $.
Calculando $ f(1,75) $ e $ f’(1,75) $:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 5
Vamos fazer mais uma iteração para deixar a resposta ainda mais precisa. Usamos agora $ x_2 \approx 1,7108 $.
Calculando $ f(1,7108) $ e $ f’(1,7108) $:
Aplicando a fórmula novamente:
Agora, podemos ver que a aproximação está se estabilizando em torno de 1,71.
Resposta
E. 1,71