Dado um tubo circular com seção variável ao longo do comprimento com uma vazão de água de
e dada uma velocidade média em uma seção de
, determinar (faça um desenho):
a) o diâmetro de tal seção
b) em outra seção com o dobro do diâmetro, qual será a velocidade média?
a) o diâmetro de tal seção
b) em outra seção com o dobro do diâmetro, qual será a velocidade média?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tubo circular que tem a seção variando ao longo do comprimento. A gente sabe que a vazão de água é
e que a velocidade média em uma das seções é
. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) O diâmetro dessa seção.
b) A nova velocidade média em uma outra seção que tem o dobro do diâmetro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que relaciona a vazão, a área da seção e a velocidade do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível (como a água), a vazão
é igual ao produto da área da seção transversal
pela velocidade média
:
Isso quer dizer que, se a vazão é constante ao longo do tubo, se a área diminui, a velocidade aumenta, e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diâmetro da seção onde a velocidade média é
.
Primeiro, precisamos achar a área da seção transversal. A área de um círculo é dada por:
Onde
é o diâmetro.
Sabemos que
e
. Substituindo na equação da continuidade:
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Calculando isso:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos saber a nova velocidade média quando o diâmetro é dobrado. Se o diâmetro passa a ser
, a nova área
será:
Comparando com a área original
, vemos que a nova área
é 4 vezes maior que a original.
Usando a equação da continuidade novamente:
Como
permanece constante (
) e
, temos:
Sabendo que
, substituindo:
Resposta
a) O diâmetro da seção é aproximadamente 2,523 metros.
b) Na seção com o dobro do diâmetro, a velocidade média será 0,25 metros por segundo.