Dado um tubo circular com seção variável ao longo do comprimento com uma vazão de água de Q=5 m^3 / s e dada uma velocidade média em uma seção de V =1 m / s, determinar (faça um desenho):
a) o diâmetro de tal seção
b) em outra seção com o dobro do diâmetro, qual será a velocidade média?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tubo circular que tem a seção variando ao longo do comprimento. A gente sabe que a vazão de água é e que a velocidade média em uma das seções é . A gente precisa descobrir duas coisas:
a) O diâmetro dessa seção.
b) A nova velocidade média em uma outra seção que tem o dobro do diâmetro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que relaciona a vazão, a área da seção e a velocidade do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível (como a água), a vazão Q = A times V é igual ao produto da área da seção transversal pela velocidade média :
Isso quer dizer que, se a vazão é constante ao longo do tubo, se a área diminui, a velocidade aumenta, e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o diâmetro da seção onde a velocidade média é A = pi D^24 .
Primeiro, precisamos achar a área da seção transversal. A área de um círculo é dada por:
5 = pi D^24 times 1
Onde é o diâmetro.
Sabemos que e . Substituindo na equação da continuidade:

Passo 4

Vamos isolar pi D^24 = 5 Rightarrow D^2 = 5 times 4pi Rightarrow D^2 = 20pi :
D = raiz20pi
Agora, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar D approx raiz203,1416 approx raiz6,366 approx 2,523 , m :
Calculando isso:

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos saber a nova velocidade média quando o diâmetro é dobrado. Se o diâmetro passa a ser A' = pi (2D)^24 = pi times 4D^24 = pi D^2 , a nova área Q = A' times V' será:
5 = 4 times A times V' Rightarrow V' = 54A
Comparando com a área original V' = 54 times 5 = 520 = 0,25 , m/s , vemos que a nova área é 4 vezes maior que a original.
Usando a equação da continuidade novamente:
Como permanece constante ( ) e , temos:
Sabendo que , substituindo:

Resposta

a) O diâmetro da seção é aproximadamente 2,523 metros.
b) Na seção com o dobro do diâmetro, a velocidade média será 0,25 metros por segundo.

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