O sistema de aquecimento a ser utilizado em um submarino está sendo projetado para oferecer uma temperatura confortável mínima de 20^circ C no interior do equipamento. O submarino pode ser modelado como um tubo de seção circular, com 9 m de diâmetro interno e 60 metros de comprimento. O coeficiente de convecção na parte interna vale aproximadamente 14 WI /(m^2 K), enquanto na parte externa o valor varia entre 6 W /(m^2 K) e 850 W /(m^2 K) (correspondente ao submarino parado e em velocidade máxima). A temperatura da água do mar varia de 1^circ C a 13^circ C. As paredes do submarino são constituídas de (de dentro para fora): uma camada de alumínio de 6,3 mm de espessura, uma camada de isolamento em fibra de vidro com 25 mm de espessura e uma camada de aço inoxidável com 19mm de espessura. Para o aço, rho=8055 kg / m^3, cp=480 J /(kgK), k=15,1 W /(m^circ C). Para a fibra de vidro rho=200 kg / m^3, cp=670 J /(kgK), k=0,035 W /(m^circ C). Para o alumínio rho=2702 kg / m^3, cp=903 J /(kgK), k=237 W /(m^circ C). Desprezar as extremidades do submarino.
(a) Mostrar esquematicamente o circuito térmico equivalente, indicando como é determinada cada resistência;
(b) Determinar a capacidade mínima que a unidade de aquecimento deve ter para manter a temperatura de conforto em todas as condições de operação do submarino;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de aquecimento de um submarino que precisa manter uma temperatura mínima de 20^circ C no interior. O submarino é como um tubo com diâmetro de 9 metros e 60 metros de comprimento. A matéria envolvida aqui é Transferência de Calor, especificamente por Condução e Convecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as resistências térmicas das diferentes camadas do submarino e das condições de convecção interna e externa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um circuito térmico equivalente. É uma maneira de modelar a transferência de calor usando conceitos elétricos, onde a temperatura é como a tensão elétrica e o fluxo de calor é como a corrente. As camadas do submarino e as superfícies interna e externa vão representar resistências térmicas.

Passo 3

Para desenhar o circuito térmico, precisamos identificar cada resistência térmica no caminho do fluxo de calor. No caso, temos:
  1. Convecção interna: do interior do submarino para a primeira camada (alumínio).
  2. Condução através do alumínio.
  3. Condução através da fibra de vidro.
  4. Condução através do aço inoxidável.
  5. Convecção externa: da última camada (aço) para a água do mar.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas resistências térmicas.
Resistência por Convecção Interna ( Ri):
Ri = 1hi cdot A
onde hi = 14 , W/(m^2K) e A é a área de superfície interna do submarino.
Resistência por Condução ( R):
R = Lk cdot A
onde L é a espessura da camada, k é a condutividade térmica, e A é a área.
Vamos calcular para cada material:
  • Alumínio: L = 6,3 times 10^-3 , m, k = 237 , W/(mK)
  • Fibra de vidro: L = 25 times 10^-3 , m, k = 0,035 , W/(mK)
  • Aço inoxidável: L = 19 times 10^-3 , m, k = 15,1 , W/(mK)
Resistência por Convecção Externa ( Re):
Re = 1he cdot A
onde he varia entre 6 , W/(m^2K) e 850 , W/(m^2K).

Passo 5

Vamos calcular a área de superfície interna do submarino. Como ele é um tubo circular:
A = pi cdot d cdot L
onde d = 9 , m e L = 60 , m.
A = pi cdot 9 cdot 60 = 1696,46 , m^2

Passo 6

Agora, vamos calcular cada resistência térmica:
Resistência por Convecção Interna ( Ri):
Ri = 114 cdot 1696,46 approx 4,19 times 10^-5 , K/W
Resistência por Condução do Alumínio ( Ralu):
Ralu = 6,3 times 10^-3237 cdot 1696,46 approx 1,56 times 10^-5 , K/W
Resistência por Condução da Fibra de Vidro ( Rfib):
Rfib = 25 times 10^-30,035 cdot 1696,46 approx 4,21 times 10^-3 , K/W
Resistência por Condução do Aço ( Raco):
Raco = 19 times 10^-315,1 cdot 1696,46 approx 7,43 times 10^-5 , K/W
Resistência por Convecção Externa ( Re):
Para o pior caso (menor he = 6 , W/(m^2K)):
Re = 16 cdot 1696,46 approx 9,81 times 10^-5 , K/W

Passo 7

O circuito térmico equivalente fica com as resistências conectadas em série:
Rtotal = Ri + Ralu + Rfib + Raco + Re
Substituindo os valores:
Rtotal = 4,19 times 10^-5 + 1,56 times 10^-5 + 4,21 times 10^-3 + 7,43 times 10^-5 + 9,81 times 10^-5 approx 4,31 times 10^-3 , K/W

Passo 8

Para determinar a capacidade mínima da unidade de aquecimento, usamos a relação:
Q = De
Onde De é a diferença de temperatura que precisamos manter. O interior deve ser 20^circ C e a água do mar pode estar até 1^circ C.
De
Então:
Q = 194,31 times 10^-3 approx 4409 , W

Resposta

A capacidade mínima que a unidade de aquecimento deve ter é de aproximadamente 4.409 W para manter a temperatura de conforto em todas as condições de operação do submarino.

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