Um fio elétrico com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento está revestido com um material plástico de espessura e=11,0 mm e condutividade térmica igual a k=0,15 W / m^circ C. Medidas indicam que o fio está submetido a uma corrente elétrica de 10A e uma tensão de 8 V . Sabendo-se que o fio revestido está em um ambiente com temperatura média de Tinfty=30^circ C e com um coeficiente de transferência de calor de h=12 W / m^20 C, determinar:
a) A temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico considerando regime permanente.
b) A temperatura na superfície do fio sem o revestimento.
c) Com o objetivo de reduzir a temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico um engenheiro sugeriu que fosse reduzida a espessura do isolamento, enquanto outro engenheiro sugeriu que fosse aumentada a espessura. Qual sua opinião em relação as sugestões apresentadas? Justifique.
Dados: Potência elétrica = Tensão times Corrente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio elétrico com diâmetro de 3 mm e 5 metros de comprimento, revestido por um material plástico de espessura 11 mm e condutividade térmica 0,15 W/m°C. O fio está carregando uma corrente de 10 A com uma tensão de 8 V. Ele está em um ambiente com temperatura ambiente de 30°C e coeficiente de transferência de calor de 12 W/m²°C. A matéria envolvida aqui é Transferência de Calor, especificamente condução térmica em regime permanente. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor para cilindros e conceitos de resistência térmica para resolver as partes a), b) e c) da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência elétrica dissipada no fio. Sabemos que a potência elétrica § é igual à tensão (V) multiplicada pela corrente (I):
P = V times I
Substituindo os valores fornecidos:
P = 8 , V times 10 , A = 80 , W
Então, a potência dissipada no fio é de 80 W.

Passo 3

Agora, vamos determinar a temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico. Para isso, consideramos que, em regime permanente, toda a potência elétrica dissipada é transferida para o ambiente através do revestimento plástico.
Usamos a fórmula da condução de calor para uma parede cilíndrica:
Q = 2 pi k L (Ti - Tinfty)ln(rori)
Onde:
  • ri = diâmetro2 = 3 , mm2 = 1,5 , mm = 0,0015 , m é a potência térmica (80 W)
  • ro = ri + e = 0,0015 , m + 0,011 , m = 0,0125 , m é a condutividade térmica do plástico (0,15 W/m°C)
  • 80 = 2 pi times 0,15 times 5 times (Ti - 30)ln(0,01250,0015) é o comprimento do fio (5 m)
  • é a temperatura na interface
  • é a temperatura ambiente (30°C)
  • é o raio interno (raio do fio)
  • é o raio externo (raio do fio mais a espessura do revestimento)
Primeiro, vamos calcular os raios:
â
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar ln(0,01250,0015) = ln(12515) = ln(83) approx 2.1203 :
Primeiro, calculamos o denominador:
80 = 2 pi times 0,15 times 5 times (Ti - 30)2.1203
Agora, substituímos:
2 pi times 0,15 times 5 = 2 times 3,1416 times 0,15 times 5 approx 4.7124
Multiplicando os termos no numerador:
80 = 4.7124 times (Ti - 30)2.1203
Então:
80 times 2.1203 = 4.7124 times (Ti - 30)
Multiplicando ambos os lados por 2.1203:
169.624 = 4.7124 times (Ti - 30)
169.6244.7124 = Ti - 30
Dividindo ambos os lados por 4.7124:
36 = Ti - 30
Ti = 66 , ^circC
Somando 30 em ambos os lados:

Resposta

a) A temperatura na interface entre o fio e o revestimento plástico é de 66 °C.

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