Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(b) v=(0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente recebeu dois conjuntos de vetores no espaço Z11^2, que é basicamente um plano onde os números vão de 0 até 10 (pois 11 é o módulo).
Os conjuntos são:
  • V = x in Z11^2 mid x1 = x2: ou seja, todos os vetores onde as duas componentes são iguais.
  • U = x in Z11^2 mid x1 + x2 = 0: aqui, a soma das duas componentes é 0.
A questão pede para a gente escrever o vetor v = (0,5) como a soma de um vetor de V e outro de U. Para isso, vamos precisar entender como são esses vetores e como somá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos V e U.
  • Em V, qualquer vetor tem a forma (k, k), onde k é um número de 0 a 10. Por exemplo, (3,3) ou (7,7).
  • Em U, qualquer vetor tem a forma (m, -m), já que m + (-m) = 0. Por exemplo, (4,7), já que 4 + 7 = 11, que é equivalente a 0 em Z11.

Passo 3

Agora, queremos encontrar dois vetores, um de V chamado a = (k, k) e outro de U chamado b = (m, -m), tal que:
a + b = (k + m, k - m) = (0, 5)
Então, temos o sistema de equações:
k + m equiv 0 pmod11 k - m equiv 5 pmod11

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar m:
(k + m) + (k - m) equiv 0 + 5 pmod11 2k equiv 5 pmod11
Agora, queremos encontrar k. Para isso, precisamos multiplicar ambos os lados por um número que seja inverso de 2 em Z11. Sabemos que 2 times 6 = 12 equiv 1 pmod11, então o inverso de 2 é 6.
Multiplicando ambos os lados por 6:
k equiv 5 times 6 pmod11 k equiv 30 pmod11 k equiv 8 pmod11
Então, k = 8.

Passo 5

Com k = 8, podemos encontrar m usando a primeira equação do sistema:
k + m equiv 0 pmod11 8 + m equiv 0 pmod11 m equiv -8 pmod11 m equiv 3 pmod11
Então, m = 3.

Passo 6

Agora, temos os valores de k e m:
  • Vetor de V: a = (k, k) = (8, 8)
  • Vetor de U: b = (m, -m) = (3, -3)
Vamos verificar a soma:
a + b = (8 + 3, 8 - 3) = (11, 5)
Como estamos em Z11, 11 equiv 0 pmod11, então:
a + b = (0, 5)

Resposta

O vetor (0,5) pode ser escrito como a soma de (8,8) in V e (3,-3) in U, ou seja:
(0,5) = (8,8) + (3,-3)

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(b) x=(3,4), y=(1, 43)
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