Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente recebeu dois conjuntos de vetores no espaço
, que é basicamente um plano onde os números vão de
até
(pois
é o módulo).
Os conjuntos são:
-
: ou seja, todos os vetores onde as duas componentes são iguais. -
: aqui, a soma das duas componentes é .
A questão pede para a gente escrever o vetor
como a soma de um vetor de
e outro de
. Para isso, vamos precisar entender como são esses vetores e como somá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos
e
.
-
Em
, qualquer vetor tem a forma , onde é um número de a . Por exemplo, ou . -
Em
, qualquer vetor tem a forma , já que . Por exemplo, , já que , que é equivalente a em .
Passo 3
Agora, queremos encontrar dois vetores, um de
chamado
e outro de
chamado
, tal que:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar
:
Agora, queremos encontrar
. Para isso, precisamos multiplicar ambos os lados por um número que seja inverso de
em
. Sabemos que
, então o inverso de
é
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
.
Passo 5
Com
, podemos encontrar
usando a primeira equação do sistema:
Então,
.
Passo 6
Agora, temos os valores de
e
:
- Vetor de
: - Vetor de
:
Vamos verificar a soma:
Como estamos em
,
, então:
Resposta
O vetor
pode ser escrito como a soma de
e
, ou seja:
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(a)
(a)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(b)
(b)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(b)
(b)
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)