Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano,
e
. Queremos encontrar dois números,
e
, que não sejam ambos zero, de modo que a combinação linear desses vetores seja igual a zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a combinação linear
de forma mais detalhada. Multiplicamos cada componente dos vetores pelos escalares
e
:
Queremos que essa soma seja igual ao vetor zero, ou seja:
Passo 3
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, para
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Passo 5
Simplificando a segunda equação:
Isso significa que as duas equações são equivalentes, e temos infinitas soluções para
e
, desde que
.
Passo 6
Para encontrar um conjunto específico de valores para
e
, podemos escolher um valor para
e calcular
. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Resposta
Um par de escalares que satisfaz a condição é
e
, ou seja,
e
.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(b)
(b)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(a)
(a)
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(a)
(a)