Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
(b) x=(3,4), y=(1, 43)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano, x = (3, 4) e y = (1, 43). Queremos encontrar dois números, a e b, que não sejam ambos zero, de modo que a combinação linear desses vetores seja igual a zero, ou seja, a x + b y = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a combinação linear a x + b y de forma mais detalhada. Multiplicamos cada componente dos vetores pelos escalares a e b:
a cdot (3, 4) + b cdot (1, 43) = (3a + b, 4a + 43b)
Queremos que essa soma seja igual ao vetor zero, ou seja:
(3a + b, 4a + 43b) = (0, 0)

Passo 3

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3a + b = 0 4a + 43b = 0
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, para b:
3a + b = 0 Rightarrow b = -3a
Agora, substituímos esse valor de b na segunda equação:
4a + 43(-3a) = 0

Passo 5

Simplificando a segunda equação:
4a - 4a = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso significa que as duas equações são equivalentes, e temos infinitas soluções para a e b, desde que b = -3a.

Passo 6

Para encontrar um conjunto específico de valores para a e b, podemos escolher um valor para a e calcular b. Por exemplo, se escolhermos a = 1, então:
b = -3 cdot 1 = -3

Resposta

Um par de escalares que satisfaz a condição é a = 1 e b = -3, ou seja, a = 1 e b = -3.

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(b) v=(0,5)
Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
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