Em R3, dados u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), considere o produto interno ponderado < u, v >D = 4u1v1 + 5u2v2 + 2u3v3 e, supondo || a ||D2 = 2, || b ||D2 = 3 e < a, b >D = –1, calcule < 3a – b, a + b >D. Escolha uma opção:a.b.c.d.e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está no espaço tridimensional
e fala sobre produto interno ponderado. A gente tem dois vetores
e
com certas normas e um produto interno definido como
. A missão é calcular
usando as informações dadas sobre as normas de
e
e o produto interno entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir o produto interno de duas combinações lineares de vetores. A gente usa a propriedade distributiva do produto interno. Então, vamos expandir
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um desses termos separadamente. Sabemos que:
-
-
-
- Como o produto interno é comutativo,
Vamos substituir esses valores na expressão:
Passo 4
Agora, vamos somar tudo:
Vamos simplificar: