Em R3, dados u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), considere o produto interno ponderado < u, v >D = 4u1v1 + 5u2v2 + 2u3v3 e, supondo || a ||D2 = 2, || b ||D2 = 3 e < a, b >D = –1, calcule < 3a – b, a + b >D. Escolha uma opção:a.b.c.d.e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está no espaço tridimensional R^3 e fala sobre produto interno ponderado. A gente tem dois vetores a e b com certas normas e um produto interno definido como lang<= u, v rang<=D = 4u1v1 + 5u2v2 + 2u3v3. A missão é calcular lang<= 3a - b, a + b rang<=D usando as informações dadas sobre as normas de a e b e o produto interno entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir o produto interno de duas combinações lineares de vetores. A gente usa a propriedade distributiva do produto interno. Então, vamos expandir lang<= 3a - b, a + b rang<=D da seguinte forma:
lang<= 3a - b, a + b rang<=D = lang<= 3a, a rang<=D + lang<= 3a, b rang<=D - lang<= b, a rang<=D - lang<= b, b rang<=D

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses termos separadamente. Sabemos que:
  • lang<= a, a rang<=D = |a|D^2 = 2
  • lang<= b, b rang<=D = |b|D^2 = 3
  • lang<= a, b rang<=D = -1
  • Como o produto interno é comutativo, lang<= b, a rang<=D = lang<= a, b rang<=D = -1
Vamos substituir esses valores na expressão:
lang<= 3a, a rang<=D = 3 lang<= a, a rang<=D = 3 times 2 = 6
lang<= 3a, b rang<=D = 3 lang<= a, b rang<=D = 3 times (-1) = -3
lang<= b, a rang<=D = -1
lang<= b, b rang<=D = 3

Passo 4

Agora, vamos somar tudo:
lang<= 3a - b, a + b rang<=D = 6 + (-3) - (-1) - 3
Vamos simplificar:
6 - 3 + 1 - 3 = 1

Resposta

lang<= 3a - b, a + b rang<=D = 1

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