Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Nele, os pontos A, B e C correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais alto da ponte. As distâncias dos pontos A, B, e C até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 m, 1,5 m e 2,3 m. Sabendo que o ponto C tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 m, calcule, em metros, a largura do rio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma ponte em forma de arco parabólico que atravessa um rio. Os pontos A, B e C representam as margens esquerda e direita do rio, e o ponto mais alto da ponte, respectivamente. As distâncias desses pontos até a superfície do rio são 0,5 m, 1,5 m e 2,3 m. Sabemos que a abscissa (a posição no eixo x) do ponto C é 6 m. Nosso objetivo é calcular a largura do rio, ou seja, a distância entre as margens A e B.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a forma da ponte é uma parábola. A equação geral de uma parábola vertical é:
Onde:
-
é o vértice da parábola. -
determina a “largura” e a “direção” da parábola (se abre para cima ou para baixo).
Nesse caso, o ponto C é o ponto mais alto da ponte, então é o vértice da parábola. Portanto, temos:
-
m (abscissa de C) -
m (altura de C)
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, podemos usar as informações dos pontos A e B. Sabemos que:
- Ponto A tem distância de 0,5 m até o rio, então suas coordenadas são
. - Ponto B tem distância de 1,5 m até o rio, então suas coordenadas são
.
Vamos usar o ponto A para encontrar
:
Isolando
:
Como temos duas incógnitas (
e
), precisamos de outra equação usando o ponto B:
Isolando
:
Passo 4
Agora, temos duas equações:
- $ a(x_A - 6)^2 = -1,8 $
- $ a(x_B - 6)^2 = -0,8 $
Para resolver esse sistema, vamos expressar
e
em termos de
:
Como a ponte é uma parábola simétrica somente se os pontos A e B estiverem equidistantes do vértice, mas aqui temos distâncias diferentes ao rio, a parábola não é simétrica em relação ao eixo vertical passando por C. Portanto, precisamos resolver as equações para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Isso nos dá:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Temos duas possibilidades:
- $ x_A - 6 = 1,5 \cdot (x_B - 6) $
- $ x_A - 6 = -1,5 \cdot (x_B - 6) $
Vamos resolver cada uma:
Caso 1:
Caso 2:
Passo 7
Agora, vamos substituir
de cada caso na equação original para encontrar
e
.
Usando o Caso 2: (porque assim conseguimos manter os valores positivos para as distâncias)
Substituindo
na primeira equação:
Calculando
:
Então:
Isolando
:
Passo 8
Vamos usar também a segunda equação para
:
Substituindo
da etapa anterior:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Observamos que ambos os lados são iguais, o que significa que temos infinitas soluções. Contudo, isso indica que a ponte não é simétrica e precisamos de mais informações para determinar a largura do rio de forma única.
Passo 9
Como a solução não está única, vamos considerar que a largura do rio é a distância entre as margens A e B, que pode ser encontrada pela diferença entre
e
.
Como já relacionamos
, a largura
é:
Para encontrar um valor numérico, precisaríamos de informações adicionais ou assumir simetria, o que não é o caso aqui. Portanto, com os dados fornecidos, não é possível determinar uma única largura para o rio.
Resposta
Com as informações fornecidas, não é possível determinar a largura exata do rio de maneira única.