Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Nele, os pontos A, B e C correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais alto da ponte. As distâncias dos pontos A, B, e C até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 m, 1,5 m e 2,3 m. Sabendo que o ponto C tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 m, calcule, em metros, a largura do rio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma ponte em forma de arco parabólico que atravessa um rio. Os pontos A, B e C representam as margens esquerda e direita do rio, e o ponto mais alto da ponte, respectivamente. As distâncias desses pontos até a superfície do rio são 0,5 m, 1,5 m e 2,3 m. Sabemos que a abscissa (a posição no eixo x) do ponto C é 6 m. Nosso objetivo é calcular a largura do rio, ou seja, a distância entre as margens A e B.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a forma da ponte é uma parábola. A equação geral de uma parábola vertical é:
y = a(x - h)^2 + k
Onde:
  • (h, k) é o vértice da parábola.
  • a determina a “largura” e a “direção” da parábola (se abre para cima ou para baixo).
Nesse caso, o ponto C é o ponto mais alto da ponte, então é o vértice da parábola. Portanto, temos:
  • h = 6 m (abscissa de C)
  • k = 2,3 m (altura de C)
Então, a equação fica:
y = a(x - 6)^2 + 2,3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de a. Para isso, podemos usar as informações dos pontos A e B. Sabemos que:
  • Ponto A tem distância de 0,5 m até o rio, então suas coordenadas são (xA, 0,5).
  • Ponto B tem distância de 1,5 m até o rio, então suas coordenadas são (xB, 1,5).
Vamos usar o ponto A para encontrar a:
0,5 = a(xA - 6)^2 + 2,3
Isolando a:
a(xA - 6)^2 = 0,5 - 2,3
a(xA - 6)^2 = -1,8
Como temos duas incógnitas ( a e xA), precisamos de outra equação usando o ponto B:
1,5 = a(xB - 6)^2 + 2,3
Isolando a:
a(xB - 6)^2 = 1,5 - 2,3
a(xB - 6)^2 = -0,8

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. $ a(x_A - 6)^2 = -1,8 $
  2. $ a(x_B - 6)^2 = -0,8 $
Para resolver esse sistema, vamos expressar a(xA - 6)^2 = -1,8 e a(xB - 6)^2 = -0,8 em termos de xA:
xB
a
Como a ponte é uma parábola simétrica somente se os pontos A e B estiverem equidistantes do vértice, mas aqui temos distâncias diferentes ao rio, a parábola não é simétrica em relação ao eixo vertical passando por C. Portanto, precisamos resolver as equações para encontrar (xA - 6)^2 = -1,8a e (xB - 6)^2 = -0,8a .

Passo 5

Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar a:
(xA - 6)^2(xB - 6)^2 = -1,8-0,8 = 1,80,8 = 2,25
Isso nos dá:
(xA - 6)^2 = 2,25 cdot (xB - 6)^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
xA - 6 = pm raiz2,25 cdot (xB - 6)
xA - 6 = pm 1,5 cdot (xB - 6)

Passo 6

Temos duas possibilidades:
  1. $ x_A - 6 = 1,5 \cdot (x_B - 6) $
  2. $ x_A - 6 = -1,5 \cdot (x_B - 6) $
Vamos resolver cada uma:
Caso 1:
xA - 6 = 1,5 cdot (xB - 6)
xA - 6 = -1,5 cdot (xB - 6)
Caso 2:
xA - 6 = 1,5xB - 9
xA = 1,5xB - 3

Passo 7

Agora, vamos substituir xA de cada caso na equação original para encontrar a e xB.
Usando o Caso 2: (porque assim conseguimos manter os valores positivos para as distâncias)
Substituindo xA = -1,5xB + 15 na primeira equação:
a(xA - 6)^2 = -1,8
a((-1,5xB + 15) - 6)^2 = -1,8
a(-1,5xB + 9)^2 = -1,8
Calculando (-1,5xB + 9)^2:
(-1,5xB + 9)^2 = 2,25xB^2 - 27xB + 81
Então:
a(2,25xB^2 - 27xB + 81) = -1,8
Isolando a:
a = -1,82,25xB^2 - 27xB + 81

Passo 8

Vamos usar também a segunda equação para a:
a(xB - 6)^2 = -0,8
a(xB^2 - 12xB + 36) = -0,8
Substituindo a da etapa anterior:
-1,82,25xB^2 - 27xB + 81 cdot (xB^2 - 12xB + 36) = -0,8
Multiplicando ambos os lados por 2,25xB^2 - 27xB + 81:
-1,8(xB^2 - 12xB + 36) = -0,8(2,25xB^2 - 27xB + 81)
Simplificando:
-1,8xB^2 + 21,6xB - 64,8 = -1,8xB^2 + 21,6xB - 64,8
Observamos que ambos os lados são iguais, o que significa que temos infinitas soluções. Contudo, isso indica que a ponte não é simétrica e precisamos de mais informações para determinar a largura do rio de forma única.

Passo 9

Como a solução não está única, vamos considerar que a largura do rio é a distância entre as margens A e B, que pode ser encontrada pela diferença entre xA e xB.
Como já relacionamos xA = -1,5xB + 15, a largura L é:
L = |xA - xB| = |-1,5xB + 15 - xB| = |-2,5xB + 15|
Para encontrar um valor numérico, precisaríamos de informações adicionais ou assumir simetria, o que não é o caso aqui. Portanto, com os dados fornecidos, não é possível determinar uma única largura para o rio.

Resposta

Com as informações fornecidas, não é possível determinar a largura exata do rio de maneira única.

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