Dados dois vetores, a=4 , 0 i-3 , 0 j e b=6 , 0 i+8, 0 j, determine as intensidades e as direções(avaliadas a partir do sentido positivo do eixo x ) de (a) a, (b) b, © a+b, (d) b - a, (e) a-b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de vetores no plano, e a gente precisa encontrar a intensidade (ou módulo) e a direção de vários vetores: a, b, a+b, b-a e a-b. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como cálculo de magnitude e ângulos com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a intensidade do vetor a. A intensidade de um vetor v = vx i + vy j é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
No nosso caso, a = 4,0,i - 3,0,j. Então:
|a| = raiz4,0^2 + (-3,0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5,0
Então, a intensidade de a é 5,0 unidades.

Passo 3

Agora, vamos determinar a direção do vetor a. A direção é o ângulo que o vetor forma com o sentido positivo do eixo x. Esse ângulo pode ser calculado usando a tangente:
theta = tan^-1(vyvx)
Para a:
thetaa = tan^-1(-3,04,0) = tan^-1(-0,75) approx -36,87^circ
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo x, a direção de a é 36,87^circ abaixo do eixo x.

Passo 4

Vamos calcular agora a intensidade do vetor b = 6,0,i + 8,0,j:
|b| = raiz6,0^2 + 8,0^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10,0
Portanto, a intensidade de b é 10,0 unidades.

Passo 5

Determinado a intensidade, vamos achar a direção de b:
thetab = tan^-1(8,06,0) = tan^-1(43) approx 53,13^circ
Então, a direção de b é 53,13^circ acima do eixo x.

Passo 6

Agora, vamos calcular a + b:
a + b = (4,0 + 6,0),i + (-3,0 + 8,0),j = 10,0,i + 5,0,j
A intensidade de a + b:
|a + b| = raiz10,0^2 + 5,0^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11,18
Direção:
thetaa+b = tan^-1(5,010,0) = tan^-1(0,5) approx 26,57^circ
Então, a + b tem intensidade de aproximadamente 11,18 unidades e direção de 26,57^circ acima do eixo x.

Passo 7

Vamos calcular b - a:
b - a = (6,0 - 4,0),i + (8,0 - (-3,0)),j = 2,0,i + 11,0,j
Intensidade:
|b - a| = raiz2,0^2 + 11,0^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18
Direção:
thetab-a = tan^-1(11,02,0) approx 79,38^circ
Então, b - a tem intensidade de aproximadamente 11,18 unidades e direção de 79,38^circ acima do eixo x.

Passo 8

Por fim, vamos calcular a - b:
a - b = (4,0 - 6,0),i + (-3,0 - 8,0),j = -2,0,i - 11,0,j
Intensidade:
|a - b| = raiz(-2,0)^2 + (-11,0)^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18
Direção:
thetaa-b = tan^-1(-11,0-2,0) = tan^-1(5,5) approx 79,38^circ
Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no terceiro quadrante, então a direção é 180^circ + 79,38^circ = 259,38^circ a partir do eixo x positivo.

Resposta

(a) |a| = 5,0 unidades, direção 36,87^circ abaixo do eixo x.
(b) |b| = 10,0 unidades, direção 53,13^circ acima do eixo x.
© |a+b| approx 11,18 unidades, direção 26,57^circ acima do eixo x.
(d) |b-a| approx 11,18 unidades, direção 79,38^circ acima do eixo x.
(e) |a-b| approx 11,18 unidades, direção 259,38^circ a partir do eixo x positivo.

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