Dados os números complexos: z1=1+3i e z2=-2+i, calcule as operações indicadas abaixo.
A) Z1+Z2.
B)Z.Z2
C)Z elevado ao quadrado
D)Z1+Z2 elevado ao quadrado

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos. A gente tem dois números complexos: $ z_1 = 1 + 3i $ e $ z_2 = -2 + i $. Vamos precisar saber como somar, multiplicar e elevar ao quadrado números complexos. Vou te explicar cada operação passo a passo.

Passo 2

A) $ z_1 + z_2 $
Para somar dois números complexos, a gente soma as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.
  • Parte real de $ z_1 $: 1
  • Parte real de $ z_2 $: -2
  • Soma das partes reais: $ 1 + (-2) = -1 $
  • Parte imaginária de $ z_1 $: 3i
  • Parte imaginária de $ z_2 $: i
  • Soma das partes imaginárias: $ 3i + i = 4i $
Então, z1 + z2

Passo 3

B) $ z_1 \times z_2 $
Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva:
z1 times z2
Lembrando que $ i^2 = -1 $.
Vamos multiplicar $ z_1 = 1 + 3i $ e $ z_2 = -2 + i $:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
Substituindo $ i^2 $ por -1:
i^2 = -1
Então, z1 = 1 + 3i

Passo 4

C) $ z_1^2 $
Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos:
z1^2
Vamos calcular $ z_1^2 = (1 + 3i)^2 $:
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2
Substituindo $ i^2 $ por -1:
z1^2 = (1 + 3i)^2
Então, 1^2 + 2 times 1 times 3i + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2

Passo 5

D) $ (z_1 + z_2)^2 $
Primeiro, já sabemos que $ z_1 + z_2 = -1 + 4i $ (do Passo 2).
Agora, vamos elevar ao quadrado:
(z1 + z2)^2
Substituindo $ i^2 $ por -1:
z1 + z2 = -1 + 4i
Então, (-1 + 4i)^2 = (-1)^2 + 2 times (-1) times 4i + (4i)^2 = 1 -8i + 16i^2

Resposta

A) $ z_1 + z_2 = -1 + 4i $
B) $ z_1 \times z_2 = -5 -5i $
C) $ z_1^2 = -8 + 6i $
D) $ (z_1 + z_2)^2 = -15 -8i $

Exercícios relacionados