Dados os números complexos: z1=1+3i e z2=-2+i, calcule as operações indicadas abaixo.
A) Z1+Z2.
B)Z.Z2
C)Z elevado ao quadrado
D)Z1+Z2 elevado ao quadrado
A) Z1+Z2.
B)Z.Z2
C)Z elevado ao quadrado
D)Z1+Z2 elevado ao quadrado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos. A gente tem dois números complexos: $ z_1 = 1 + 3i $ e $ z_2 = -2 + i $. Vamos precisar saber como somar, multiplicar e elevar ao quadrado números complexos. Vou te explicar cada operação passo a passo.
Passo 2
A) $ z_1 + z_2 $
Para somar dois números complexos, a gente soma as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.
-
Parte real de $ z_1 $: 1
-
Parte real de $ z_2 $: -2
-
Soma das partes reais: $ 1 + (-2) = -1 $
-
Parte imaginária de $ z_1 $: 3i
-
Parte imaginária de $ z_2 $: i
-
Soma das partes imaginárias: $ 3i + i = 4i $
Então,
Passo 3
B) $ z_1 \times z_2 $
Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva:
Lembrando que $ i^2 = -1 $.
Vamos multiplicar $ z_1 = 1 + 3i $ e $ z_2 = -2 + i $:
Substituindo $ i^2 $ por -1:
Então,
Passo 4
C) $ z_1^2 $
Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos:
Vamos calcular $ z_1^2 = (1 + 3i)^2 $:
Substituindo $ i^2 $ por -1:
Então,
Passo 5
D) $ (z_1 + z_2)^2 $
Primeiro, já sabemos que $ z_1 + z_2 = -1 + 4i $ (do Passo 2).
Agora, vamos elevar ao quadrado:
Substituindo $ i^2 $ por -1:
Então,
Resposta
A) $ z_1 + z_2 = -1 + 4i $
B) $ z_1 \times z_2 = -5 -5i $
C) $ z_1^2 = -8 + 6i $
D) $ (z_1 + z_2)^2 = -15 -8i $
B) $ z_1 \times z_2 = -5 -5i $
C) $ z_1^2 = -8 + 6i $
D) $ (z_1 + z_2)^2 = -15 -8i $