Quatro times de futebol disputam um campeonato. Cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros times. Em cada partida, o time vitorioso ganha 3 pontos, o derrotado recebe 0 ponto e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto. Findo o campeonato, qual dos números a seguir NÃO pode ser a soma de todos os pontos obtidos por um time?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campeonato de futebol com 4 times, onde cada time joga uma vez contra cada um dos outros. A gente vai calcular quais são as possíveis somas de pontos que um time pode ter no final do campeonato. Para isso, vamos precisar entender como os pontos são distribuídos em cada partida: vitória dá 3 pontos, empate dá 1 ponto para cada time, e derrota não dá pontos. Vamos seguir passo a passo para descobrir qual número NÃO pode ser a soma dos pontos de um time.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas partidas cada time joga. Como há 4 times e cada um joga contra os outros, cada time participa de 3 jogos. Então, vamos pensar nas diferentes combinações de resultados desses 3 jogos que resultam em diferentes somas de pontos.

Passo 3

Vamos analisar todas as possibilidades de resultados para um time em 3 jogos:
  1. Todas as vitórias: Se o time ganha os 3 jogos, ele ganha 3 pontos em cada, totalizando:
    3 , vitórias times 3 , pontos = 9 , pontos ó
  2. Duas vitórias e uma derrota: Ganha 2 jogos e perde 1, então:
    2 times 3 + 0 = 6 , pontos
  3. Duas vitórias e um empate: Ganha 2 jogos e empata 1, totalizando:
    2 times 3 + 1 times 1 = 7 , pontos
  4. Uma vitória e duas derrotas: Ganha 1 jogo e perde 2, somando:
    1 times 3 + 0 = 3 , pontos
  5. Uma vitória, um empate e uma derrota:
    1 times 3 + 1 times 1 + 0 = 4 , pontos
  6. Todos os jogos empatados: Empata os 3 jogos, então:
    3 times 1 = 3 , pontos
  7. Dois empates e uma derrota:
    2 times 1 + 0 = 2 , pontos
  8. Um empate e duas derrotas:
    1 times 1 + 0 = 1 , ponto
  9. Todas as derrotas:
    0 , pontos

Passo 4

Agora, juntando todas as possibilidades de soma de pontos que um time pode ter:
  • 0 pontos
  • 1 ponto
  • 2 pontos
  • 3 pontos
  • 4 pontos
  • 6 pontos
  • 7 pontos
  • 9 pontos
Note que faltou o 5 pontos e o 8 pontos nessa lista. Mas será que é possível obter esses valores?
Vamos verificar:
  • 5 pontos: Pode ser obtido com 1 vitória e 2 empates:
    1 times 3 + 2 times 1 = 5 , pontos
  • 8 pontos: Vamos ver se dá para chegar a 8 pontos.
Para ter 8 pontos em 3 jogos, as combinações seriam:
  • 2 vitórias e 2 empates. Mas um time só joga 3 jogos, então não dá para ter 2 empates além das 2 vitórias. Isso totaliza 7 pontos no máximo.
  • 3 vitórias e 1 empate, mas são apenas 3 jogos, então o máximo seria 9 pontos.
Portanto, não é possível obter 8 pontos.

Resposta

8 pontos NÃO pode ser a soma de todos os pontos obtidos por um time.

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