Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:
a) A distância entre A e B.
b) O ponto médio do segmento AB. A equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1) é:
a) 2x – 3y – 13 = 0
b) -2x – 3y + 13 = 0
c) 3x – 2y + 13 = 0
d) 2x – 3y + 13 = 0
e) 2x + 3y – 13 = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os pontos A(3, 6) e B(8, 18). Precisamos calcular:
a) A distância entre A e B.
b) O ponto médio do segmento AB.
Além disso, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1) e escolher a opção correta dentre as fornecidas.
Para resolver isso, vamos usar fórmulas de geometria analítica, como a fórmula da distância entre dois pontos, a fórmula do ponto médio e a equação da reta que passa por dois pontos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) calcular a distância entre os pontos A(3, 6) e B(8, 18). Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Onde $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $.

Passo 3

Substituindo os valores de A e B na fórmula:
$ x_1 = 3 $, $ y_1 = 6 $
$ x_2 = 8 $, $ y_2 = 18 $
Então:
x1 = 3

Passo 4

Calculando a raiz quadrada:
d = raiz169 = 13
Então, a distância entre A e B é 13 unidades.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b) determinar o ponto médio do segmento AB. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $ é:
A(x1, y1)

Passo 6

Substituindo os valores de A e B na fórmula:
M( 3 + 82, 6 + 182 ) = M( 112, 242 ) = M(5.5, 12)
Então, o ponto médio do segmento AB é M(5.5, 12).

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte da questão: encontrar a equação da reta que passa pelos pontos $ (2, -3) $ e $ (8, 1) $.
Para isso, vamos utilizar a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos, que pode ser escrita na forma geral:
(2, -3)
Onde $ m $ é o coeficiente angular, dado por:
(8, 1)

Passo 8

Calculando o coeficiente angular $ m $:
$ x_1 = 2 $, $ y_1 = -3 $
$ x_2 = 8 $, $ y_2 = 1 $
Então:
m

Passo 9

Agora que temos $ m = \frac{2}{3} $, podemos substituir na equação da reta:
m = 23
Simplificando:
y - (-3) = 23(x - 2)

Passo 10

Vamos colocar a equação na forma geral $ Ax + By + C = 0 $. Primeiro, eliminamos os denominadores multiplicando todos os termos por 3:
Ax + By + C = 0
Rearranjando os termos:
3y + 9 = 2x - 4

Passo 11

Comparando com as opções fornecidas:
a) $ 2x – 3y – 13 = 0 $
b) -2x – 3y + 13 = 0
c) 3x – 2y + 13 = 0
d) 2x – 3y + 13 = 0
e) 2x + 3y – 13 = 0.
A equação que encontramos é a opção a).

Resposta

a) A distância entre A e B é 13 unidades.
b) O ponto médio do segmento AB é M(5.5, 12).
Para a equação da reta, a opção correta é a:
a) $ 2x – 3y – 13 = 0 $.

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