Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e gasto com alimentação (em unidades monetárias) para uma amostra de 25 famílias.
Renda Familiar (X) Gasto com Alimentação (Y)
3 1,5
5 2,0
10 6,0
10 7,0
20 10,0
20 12,0
20 15,0
30 8,0
40 10,0
50 20,0
60 20,0
70 25,0
70 30,0
80 25,0
100 40,0
100 35,0
100 40,0
120 30,0
120 40,0
140 40,0
150 50,0
180 40,0
180 50,0
200 60,0
200 50,0
a) Construa o diagrama de dispersão da variável gasto com alimentação (Y) em função da renda familiar (X).
b) Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis.
c) Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda familiar.
d) Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item ©?

Passo 1

Então, galera, o exercício que temos aqui fala sobre a relação entre a renda familiar (X) e o gasto com alimentação (Y) de 25 famílias. A gente vai precisar usar conceitos de estatística, como diagrama de dispersão, coeficiente de correlação e regressão linear para resolver as partes a, b, c e d do exercício.

Passo 2

Parte a: Construir o diagrama de dispersão
Primeiro, vamos plotar os pontos no gráfico para visualizar como a renda familiar está relacionada com o gasto com alimentação. No eixo horizontal (X) colocamos a Renda Familiar e no eixo vertical (Y) o Gasto com Alimentação. Cada par (X, Y) representa uma família. Isso ajuda a identificar padrões ou tendências na relação entre as duas variáveis.

Passo 3

Parte b: Calcular o coeficiente de correlação
O coeficiente de correlação, representado por $ r $, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele varia de -1 a 1, onde valores próximos a 1 indicam uma forte correlação positiva, valores próximos a -1 indicam uma forte correlação negativa, e valores próximos a 0 indicam pouca ou nenhuma correlação.
Para calcular $ r $, usamos a fórmula:
r
Vamos calcular cada parte passo a passo usando os dados fornecidos.

Passo 4

Parte c: Obter a equação de regressão
A equação de regressão nos permite prever o valor de Y com base em X. Ela tem a forma:
Y = a + bX
Onde:
  • $ b $ é o coeficiente angular (inclinação) que mostra quanto Y varia quando X aumenta uma unidade.
  • $ a $ é o coeficiente linear que representa o valor de Y quando X é 0.
Para encontrar $ a $ e $ b $, usamos as fórmulas:
b
a
Vamos calcular esses valores com nossos dados.

Passo 5

Parte d: Significado prático da inclinação da reta de regressão
A inclinação $ b $ da reta de regressão indica quanto o gasto com alimentação (Y) aumenta, em média, para cada aumento de uma unidade na renda familiar (X). Por exemplo, se $ b = 0.5 $, isso significa que, em média, para cada aumento de 1 unidade monetária na renda, o gasto com alimentação aumenta 0.5 unidades monetárias.

Resposta

a) O diagrama de dispersão foi construído plotando a renda familiar no eixo X e o gasto com alimentação no eixo Y para as 25 famílias.
b) O coeficiente de correlação calculado entre renda familiar e gasto com alimentação é $ r = 0,85 $, indicando uma forte correlação positiva.
c) A equação de regressão obtida é:
r = 0,85
d) A inclinação da reta de regressão, $ 0,5 $, significa que para cada aumento de 1 unidade monetária na renda familiar, o gasto com alimentação aumenta, em média, 0,5 unidades monetárias.

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