Se X e Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros (alpha, gamma) e (beta, gamma), respectivamente, calcule a densidade conjunta de U=X+Y e V=XX+Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a densidade conjunta de duas novas variáveis e , onde e são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros e , respectivamente. Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis e a fórmula de Jacobiano. Vamos precisar saber como transformar variáveis aleatórias e calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as distribuições das variáveis fX(x) = gamma^alphaGamma(alpha) x^alpha - 1 e^-gamma x, x > 0 e fY(y) = gamma^betaGamma(beta) y^beta - 1 e^-gamma y, y > 0 . Como elas são variáveis gama, suas densidades são dadas por:
fX,Y(x, y) = fX(x) fY(y)
Como e são independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades individuais:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a densidade conjunta de X = U V e Y = U (1 - V) . Para isso, vamos expressar e em termos de e :

Passo 4

Com essa transformação, precisamos calcular o Jacobiano da mudança de variável. O Jacobiano J = partial Xpartial U & partial Xpartial V partial Ypartial U & partial Ypartial V = V & U 1 - V & -U é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
|J| = V (-U) - U (1 - V) = -U V - U + U V = -U
O determinante do Jacobiano é:
|J| = U
Tomamos o valor absoluto, já que estamos lidando com densidades:

Passo 5

Agora, substituímos fX,Y(U V, U (1 - V)) = gamma^alphaGamma(alpha) (U V)^alpha - 1 e^-gamma U V cdot gamma^betaGamma(beta) (U (1 - V))^beta - 1 e^-gamma U (1 - V) e fX,Y(U V, U (1 - V)) = gamma^alpha + betaGamma(alpha) Gamma(beta) U^alpha + beta - 1 V^alpha - 1 (1 - V)^beta - 1 e^-gamma U em termos de e na densidade conjunta :
Simplificando os expoentes e os termos exponenciais:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos pela função Jacobiano fU,V(u, v) = fX,Y(u v, u (1 - v)) cdot |J| = gamma^alpha + betaGamma(alpha) Gamma(beta) u^alpha + beta - 1 v^alpha - 1 (1 - v)^beta - 1 e^-gamma u cdot u para obter a densidade conjunta de fU,V(u, v) = gamma^alpha + betaGamma(alpha) Gamma(beta) u^alpha + beta v^alpha - 1 (1 - v)^beta - 1 e^-gamma u e :
Simplificando mais:

Resposta

A densidade conjunta de fU,V(u, v) = gamma^alpha + betaGamma(alpha) Gamma(beta) , u^alpha + beta , v^alpha - 1 , (1 - v)^beta - 1 , e^-gamma u e é dada por:
para e .

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