Se X e Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros
e
, respectivamente, calcule a densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a densidade conjunta de duas novas variáveis
e
, onde
e
são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros
e
, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis e a fórmula de Jacobiano. Vamos precisar saber como transformar variáveis aleatórias e calcular determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as distribuições das variáveis
e
. Como elas são variáveis gama, suas densidades são dadas por:
Como
e
são independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a densidade conjunta de
e
. Para isso, vamos expressar
e
em termos de
e
:
Passo 4
Com essa transformação, precisamos calcular o Jacobiano da mudança de variável. O Jacobiano
é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
O determinante do Jacobiano é:
Tomamos o valor absoluto, já que estamos lidando com densidades:
Passo 5
Agora, substituímos
e
em termos de
e
na densidade conjunta
:
Simplificando os expoentes e os termos exponenciais:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos pela função Jacobiano
para obter a densidade conjunta de
e
:
Simplificando mais:
Resposta
A densidade conjunta de
e
é dada por:
para
e
.