Os dados a seguir são referentes ao nível de ansiedade medido pela Escala de Ansiedade de Beck ou Inventário de Ansiedade de Beck (BAI) de dois grupos:
Sala com isolamento acústico: 5 11 8 4 3 22 10 10 9 11
Sala sem isolamento acústico: 18 26 20 21 19 20 22 18 20 25
Sabendo que o desvio-padrão sigma=7 era o mesmo nas 2 salas, obtenha e compare o IC para a média nos dois grupos com um nível de confiança de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre intervalos de confiança para médias de dois grupos. Os grupos são pessoas em salas com e sem isolamento acústico, e temos os níveis de ansiedade medidos pela Escala de Beck. Precisamos calcular e comparar os Intervalos de Confiança (IC) de 95% para a média de ansiedade de cada grupo. Para isso, vamos precisar calcular as médias dos grupos, usar a fórmula do IC para média quando conhecemos o desvio-padrão da população, que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos níveis de ansiedade para cada grupo. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Sala com isolamento acústico:
Valores: 5, 11, 8, 4, 3, 22, 10, 10, 9, 11
Calculando a soma:
5 + 11 + 8 + 4 + 3 + 22 + 10 + 10 + 9 + 11 = 93
Número de observações (n):
n = 10
Média ( barx1):
barx1 = 9310 = 9,3

Passo 3

Sala sem isolamento acústico:
Valores: 18, 26, 20, 21, 19, 20, 22, 18, 20, 25
Calculando a soma:
18 + 26 + 20 + 21 + 19 + 20 + 22 + 18 + 20 + 25 = 209
Número de observações (n):
n = 10
Média ( barx2):
barx2 = 20910 = 20,9

Passo 4

Agora, vamos calcular o Intervalo de Confiança para a média de cada grupo. A fórmula do IC para a média, quando conhecemos o desvio-padrão da população ( sigma), é:
IC = barx pm z times sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média do grupo
  • z é o valor z correspondente ao nível de confiança (para 95%, z approx 1,96)
  • sigma é o desvio-padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 5

Aplicando a fórmula para o grupo com isolamento acústico:
IC1 = 9,3 pm 1,96 times 7raiz10
Calculando o erro padrão ($ \frac{7}{\sqrt{10}} $):
7raiz10
Calculando o produto com z:
7raiz10 approx 73,162 approx 2,214
Então, o intervalo de confiança é:
1,96 times 2,214 approx 4,34
9,3 - 4,34 = 4,96
Portanto:
9,3 + 4,34 = 13,64

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula para o grupo sem isolamento acústico:
IC2 = 20,9 pm 1,96 times 7raiz10
Já sabemos que $ \frac{7}{\sqrt{10}} \approx 2,214 $ e $ 1,96 \times 2,214 \approx 4,34 $
Então, o intervalo de confiança é:
7raiz10 approx 2,214
1,96 times 2,214 approx 4,34
Portanto:
20,9 - 4,34 = 16,56

Passo 7

Por fim, vamos comparar os intervalos de confiança dos dois grupos. O IC do grupo com isolamento acústico é de aproximadamente [4,96; 13,64], enquanto o IC do grupo sem isolamento acústico é de aproximadamente [16,56; 25,24]. Observamos que os intervalos não se sobrepõem, o que sugere que há uma diferença significativa nas médias de ansiedade entre os dois grupos com 95% de confiança.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média de ansiedade é aproximadamente [4,96; 13,64] para o grupo com isolamento acústico e [16,56; 25,24] para o grupo sem isolamento acústico, indicando uma diferença significativa entre os dois grupos.

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