O Mapa da Desigualdade feito pela Rede Nossa São Paulo (RNSP), consiste no levantamento de uma série de indicadores dos 96 distritos da cidade de São Paulo, de modo que se possa comparar dados e verificar os locais mais desprovidos de serviços e equipamentos públicos. Dentre as diversas características levantadas pela RNSP mediu-se a média da idade com que as pessoas morreram na zona sul e na zona norte. O interesse era estudar a desigualdade social entre estas duas zonas e, para tal, observou-se 16 indivíduos na zona sul obtendo-se média de 79 anos e desvio padrão de 3 anos. Também se retirou uma amostra aleatória de 25 pessoas na zona norte, obtendo-se média de 59 anos e desvio padrão de 6 anos.
Podemos concluir que a idade média de morte é diferente entre as duas zonas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dados sobre a idade média de morte em duas zonas de São Paulo: a zona sul e a zona norte. A zona sul teve uma média de 79 anos com desvio padrão de 3 anos (com 16 pessoas na amostra). Já a zona norte teve uma média de 59 anos com desvio padrão de 6 anos (com 25 pessoas na amostra). O objetivo é descobrir se essa diferença nas médias é realmente significativa, ou seja, se podemos concluir que a idade média de morte é diferente entre essas duas zonas. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses para comparar duas médias.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) geralmente afirma que não há diferença entre as médias das duas populações. Já a hipótese alternativa ( Ha) afirma que existe uma diferença.
  • H0: muSul = muNorte
  • Ha: muSul neq muNorte
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se há diferença em qualquer direção.

Passo 3

Vamos precisar calcular o valor do teste para comparar com um valor crítico ou para achar o p-valor. Como temos as médias e desvios padrões das amostras, vamos usar a fórmula do teste t para duas amostras independentes:
t = (barX1 - barX2)raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • barX1 = 79 (média da zona sul)
  • barX2 = 59 (média da zona norte)
  • s1 = 3 (desvio padrão da zona sul)
  • s2 = 6 (desvio padrão da zona norte)
  • n1 = 16 (tamanho da amostra da zona sul)
  • n2 = 25 (tamanho da amostra da zona norte)

Passo 4

Vamos calcular o denominador da fórmula:
raiz3^216 + 6^225 = raiz916 + 3625 = raiz0,5625 + 1,44 = raiz2,0025 approx 1,415

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste t:
t = 79 - 591,415 = 201,415 approx 14,13

Passo 6

Precisamos determinar os graus de liberdade (df) para nosso teste. Uma maneira simples é usar a fórmula de Satterthwaite:
df = (s1^2n1 + s2^2n2)^2(s1^2n1)^2n1 - 1 + (s2^2n2)^2n2 - 1
Substituindo os valores:
df = (0,5625 + 1,44)^20,5625^215 + 1,44^224 approx 4,010,021 + 0,0864 approx 4,010,1074 approx 37,3
Arredondamos para 37 graus de liberdade.

Passo 7

Agora, vamos verificar o p-valor associado ao nosso t calculado. Como o t foi aproximadamente 14,13 com 37 graus de liberdade, o p-valor será extremamente pequeno (muito menor que 0,05). Isso significa que a probabilidade de observarmos uma diferença tão grande nas médias por acaso é quase nula.

Resposta

Como o valor do teste t é muito alto e o p-valor é muito pequeno (menor que 0,05), podemos concluir que a idade média de morte é significativamente diferente entre a zona sul e a zona norte de São Paulo.

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