Um experimento foi conduzido para estimar a proporção de crianças que sofre de nictofobia em uma determinada cidade. Para tanto, foi selecionada uma amostra aleatória com 500 crianças, dentre as quais 100 relataram ter medo do escuro. Construa e interprete o intervalo de
de confiança para a proporção de crianças que sofre de nictofobia nesta cidade.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos lá: o exercício pede para a gente construir e interpretar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de crianças que sofrem de nictofobia (medo do escuro) em uma cidade. A gente tem uma amostra aleatória de 500 crianças, das quais 100 disseram ter esse medo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de intervalo de confiança para proporções, que nos ajuda a estimar uma faixa onde a verdadeira proporção da população provavelmente está.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a proporção amostral ($ \hat{p} $). Ela é calculada dividindo o número de sucessos (crianças com medo do escuro) pelo total da amostra.
Então, a proporção amostral é 0,2 ou 20%.
Passo 3
Agora, vamos determinar o nível de confiança, que é 95% nesse caso. Esse nível nos diz quão certo queremos estar de que o intervalo calculado realmente contém a verdadeira proporção da população.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o valor crítico ($ z $) correspondente a 95% de confiança. Esse valor vem da distribuição normal padrão e para 95% de confiança, $ z $ é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão ($ E $) da proporção. O erro padrão fornece uma medida da variabilidade da proporção amostral.
Substituindo os valores:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,035.
Passo 6
Agora, vamos construir o intervalo de confiança. Ele é dado pela proporção amostral mais ou menos o erro padrão.
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção de crianças que sofrem de nictofobia nesta cidade está entre 16,5% e 23,5%. Isso significa que temos 95% de confiança de que a verdadeira proporção de crianças com medo do escuro na cidade está dentro dessa faixa.