Dados subespaços vetoriais do espaço vetorial determinar:
(i) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial .
(ii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial .
(iii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial .
(iv) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de álgebra linear onde precisa encontrar bases e dimensões de alguns subespaços vetoriais no espaço . Os subespaços são definidos por certas condições nas coordenadas dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, vetores livres, e como encontrar bases e dimensões desses subespaços.
Passo 2
Parte (i): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço .
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação .
Isso significa que, para qualquer vetor em , as coordenadas , e estão relacionadas por essa equação. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Agora, podemos expressar o vetor em termos de variáveis livres. Aqui, e são variáveis livres, já que não estão restritas pela equação.
Então, o vetor pode ser escrito como:
Podemos separar isso em termos de , , e :
Isso nos dá uma combinação linear de três vetores. Então, uma base para é formada por esses vetores:
A dimensão de é o número de vetores na base, que aqui é 3.
Passo 3
Parte (ii): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço .
Agora, vamos para o subespaço , definido pelos vetores que satisfazem e .
Essas duas equações nos dão relações entre as coordenadas. Podemos expressar e em termos de e , mas como , realmente apenas precisamos de e como variáveis livres.
Então, expressamos o vetor como:
Podemos separar isso em termos de e :
Isso nos dá uma combinação linear de dois vetores. Então, uma base para é:
A dimensão de é 2, já que temos dois vetores na base.
Passo 4
Parte (iii): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço .
O subespaço é a soma dos subespaços e , ou seja, todo vetor que pode ser escrito como onde e .
Para encontrar uma base para , pegamos as bases de e e juntamos os vetores:
Notamos que o vetor aparece duas vezes, então podemos eliminá-lo.
Agora, temos quatro vetores. Para verificar se eles são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir:
Após a redução, constatamos que há redundância, e a base final será composta por três vetores:
Portanto, a dimensão de é 3.
Passo 5
Parte (iv): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço y - 2z + w = 0 2z - 2z + w = 0 w = 0 .
(0, 2z, z, 0) = z cdot (0, 2, 1, 0) é o conjunto de vetores que estão tanto em , (0, 2, 1, 0) , quanto em . Vamos encontrar as condições que esses vetores devem satisfazer.
Sabemos que:
Para :
Para : e
Vamos substituir as condições de na equação de :
E como , então .
Portanto, os vetores em devem satisfazer , , e .
Então, o vetor tem a forma:
Isso significa que qualquer vetor em é um múltiplo escalar de . Portanto, a base é: