Fixado x in R, considere os vetores u1=(cos x, sen x) e u2=(-sen x, cos x) em R^2. Mostre que estes vetores formam uma base, B, de R^2 e encontre a matriz de mudança desta base para a base C formada pelos vetores e1=(1,0) e e2=(0,1). Encontre as coordenadas do vetor u=a e1+b e2 com relação à base B.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! A gente tem dois vetores e no plano . O exercício pede para a gente mostrar que esses vetores formam uma base chamada para . Depois, precisamos descobrir a matriz que faz a mudança dessa base para a base padrão , que é formada pelos vetores e . Por fim, queremos encontrar as coordenadas de um vetor qualquer em relação à base .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear, matrizes de mudança de base e como representar vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que e formam uma base para . Para isso, precisamos verificar se eles são lineares e se geram todo o espaço .
Mas antes, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso do , precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. Se tivermos uma combinação linear dos vetores igual ao vetor zero apenas quando todos os coeficientes são zero, então os vetores são linearmente independentes.
Então, consideramos a equação:
c1 u1 + c2 u2 = (0, 0)
Substituindo c1 (cos x, sen x) + c2 (-sen x, cos x) = (0, 0) e c1 cos x - c2 sen x = 0 c1 sen x + c2 cos x = 0 :
Isso resulta em duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Temos:

Podemos escrever isso em forma matricial:
[

cos x & -sen x sen x & cos x c1 c2 = 0 0


]
Para que a única solução seja , o determinante da matriz deve ser diferente de zero.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores det cos x & -sen x sen x & cos x = cos x cdot cos x - (-sen x) cdot sen x = cos^2 x + sen^2 x = 1 e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base P = cos x & -sen x sen x & cos x para a base padrão . A matriz de mudança de base, digamos , converte coordenadas de para .
Sabemos que os vetores da base são expressos na base como colunas da matriz . Então:
Essa matriz representa a rotação no plano em um ângulo .

Passo 7

Por fim, queremos encontrar as coordenadas do vetor u = c1 u1 + c2 u2 em relação à base (a, b) = c1 (cos x, sen x) + c2 (-sen x, cos x) . Ou seja, queremos encontrar os valores de c1 cos x - c2 sen x = a c1 sen x + c2 cos x = b e tais que:
Substituindo:
Isso resulta no sistema:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema para encontrar c1 c2 = cos x & sen x -sen x & cos x a b e c1 = a cos x + b sen x c2 = -a sen x + b cos x . Podemos usar a matriz inversa, já que a matriz de tem determinante 1.

A solução é:
[



]
Multiplicando:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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