Fixado
, considere os vetores
e
em
. Mostre que estes vetores formam uma base,
, de
e encontre a matriz de mudança desta base para a base
formada pelos vetores
e
. Encontre as coordenadas do vetor
com relação à base
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! A gente tem dois vetores e no plano
. O exercício pede para a gente mostrar que esses vetores formam uma base chamada
para
. Depois, precisamos descobrir a matriz que faz a mudança dessa base
para a base padrão
, que é formada pelos vetores
e
. Por fim, queremos encontrar as coordenadas de um vetor qualquer
em relação à base
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear, matrizes de mudança de base e como representar vetores em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
e
formam uma base para
. Para isso, precisamos verificar se eles são lineares e se geram todo o espaço
.
Mas antes, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso do
, precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear. Se tivermos uma combinação linear dos vetores igual ao vetor zero apenas quando todos os coeficientes são zero, então os vetores são linearmente independentes.
Então, consideramos a equação:
Substituindo
e
:
Isso resulta em duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Temos:
Podemos escrever isso em forma matricial:
[
]
Para que a única solução seja
, o determinante da matriz deve ser diferente de zero.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base
para a base padrão
. A matriz de mudança de base, digamos
, converte coordenadas de
para
.
Sabemos que os vetores da base
são expressos na base
como colunas da matriz
. Então:
Essa matriz representa a rotação no plano em um ângulo
.
Passo 7
Por fim, queremos encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base
. Ou seja, queremos encontrar os valores de
e
tais que:
Substituindo:
Isso resulta no sistema:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos usar a matriz inversa, já que a matriz de
tem determinante 1.
A solução é:
[
]
Multiplicando:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são .